Analysis Beispiele

$(- 5 + 27 i) - (- 12 i + 8) + {(- 2 i)}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 + 27 i - (- 12 i) - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Schritt 1.4

Wende die Produktregel auf $- 2 i$ an.

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Schritt 1.5

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 i^{3}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- 1 \cdot i)$

Schritt 1.8

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- i)$

Schritt 1.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + 8 i$

Schritt 2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $8$ von $- 5$ .

$- 13 + 27 i + 12 i + 8 i$

Schritt 2.2

Addiere $27 i$ und $12 i$ .

$- 13 + 39 i + 8 i$

Schritt 2.3

Addiere $39 i$ und $8 i$ .

$- 13 + 47 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 13$ und $b = 47$ .

$| z | = \sqrt{47^{2} + {(- 13)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $47$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + {(- 13)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 13$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + 169}$

Schritt 6.3

Addiere $2209$ und $169$ .

$| z | = \sqrt{2378}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{47}{- 13})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{47}{- 13}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $1.84064548$ .

$θ = 1.84064548$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = 1.84064548$ und $| z | = \sqrt{2378}$ .

$\sqrt{2378} (\cos (1.84064548) + i \sin (1.84064548))$