Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Schritt 1

Um den Durchschnittswert einer Funktion zu finden, sollte die Funktion über das geschlossene Intervall $[a, b]$ stetig sein. Um herauszufinden, ob $f (x)$ stetig auf $[0, 6]$ ist oder nicht, finde den Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

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Schritt 1.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{4 x + 1}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4 x + 1 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x \geq - 1$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \geq - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Schritt 1.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Intervallschreibweise:

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Schritt 2

$f (x)$ ist stetig im Intervall $[0, 6]$ .

$f (x)$ ist stetig

Schritt 3

Der Durchschnittswert der Funktion $f$ im Intervall $[a, b]$ ist definiert als $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Schritt 4

Setze die tatsächlichen Werte in die Formel für den Durchschnittswert einer Funktion ein.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Schritt 5

Sei $u = 4 x + 1$ . Dann ist $d u = 4 d x$ , folglich $\frac{1}{4} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 4 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 4 x + 1$ ein.

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $0$ und $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 4 x + 1$ ein.

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Schritt 5.5

Vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Schritt 5.5.2

Addiere $24$ und $1$ .

$u_{upper} = 25$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Schritt 6

Kombiniere $\sqrt{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Schritt 7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Schritt 8

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Schritt 9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Schritt 10

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 10.1

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $25$ und $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2

Vereinfache.

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Schritt 10.2.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.4

Potenziere $5$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.5

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Schritt 10.2.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Schritt 10.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Schritt 10.2.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Schritt 10.2.10

Subtrahiere $2$ von $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Schritt 10.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Schritt 10.2.12

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Schritt 10.2.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $248$ und $12$ .

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Schritt 10.2.13.1

Faktorisiere $4$ aus $248$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Schritt 10.2.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.13.2.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Schritt 10.2.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Schritt 10.2.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Schritt 11

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Schritt 11.2

Addiere $6$ und $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Schritt 12

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Schritt 12.1.2

Faktorisiere $2$ aus $62$ heraus.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Schritt 12.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Schritt 12.1.4

Forme den Ausdruck um.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Schritt 12.2

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Schritt 12.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Schritt 13