Analysis Beispiele

$f (x) = \tan (15 x)$

Schritt 1

Für jedes $y = \tan (x)$ existieren vertikale Asymptoten bei $x = \frac{π}{2} + n π$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist. Benutze die Grundperiode für $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , um die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (15 x)$ zu bestimmen. Setze das Innere der Tangens-Funktion, $b x + c$ , für $y = a \tan (b x + c) + d$ gleich $- \frac{π}{2}$ , um herauszufinden, wo die vertikale Asymptote für $y = \tan (15 x)$ auftritt.

$15 x = - \frac{π}{2}$

Schritt 2

Teile jeden Ausdruck in $15 x = - \frac{π}{2}$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $15 x = - \frac{π}{2}$ durch $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{- \frac{π}{2}}{15}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x}{15} = \frac{- \frac{π}{2}}{15}$

Schritt 2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{15}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{15}$ mit $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{15 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $15$ mit $2$ .

$x = - \frac{π}{30}$

Schritt 3

Setze das Innere der Tangensfunktion $15 x$ gleich $\frac{π}{2}$ .

$15 x = \frac{π}{2}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $15 x = \frac{π}{2}$ durch $15$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $15 x = \frac{π}{2}$ durch $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{\frac{π}{2}}{15}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $15$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{15 x}{15} = \frac{\frac{π}{2}}{15}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{15}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{15}$

Schritt 4.3.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{15}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{15}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 15}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $15$ .

$x = \frac{π}{30}$

Schritt 5

Die fundamentale Periode für $y = \tan (15 x)$ tritt auf bei $(- \frac{π}{30}, \frac{π}{30})$ , wobei $- \frac{π}{30}$ und $\frac{π}{30}$ vertikale Asymptoten sind.

$(- \frac{π}{30}, \frac{π}{30})$

Schritt 6

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $15$ ist $15$ .

$\frac{π}{15}$

Schritt 7

Die vertikalen Asymptoten für $y = \tan (15 x)$ treten auf bei $- \frac{π}{30}$ , $\frac{π}{30}$ und aller $\frac{π n}{15}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist.

$x = \frac{π}{30} + \frac{π n}{15}$

Schritt 8

Der Tangens hat nur vertikale Asymptoten.

Keine horizontalen Asymptoten

Keine schiefen Asymptoten

Vertikale Asymptoten: $x = \frac{π}{30} + \frac{π n}{15}$ , wobei $n$ eine Ganzzahl ist

Schritt 9