Analysis Beispiele

$\int x \cos (3 x) d x$

Schritt 1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Schritt 3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Schritt 4

Sei $u = 3 x$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u = 3 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Schritt 4.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Schritt 5

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Schritt 6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Schritt 9

Schreibe $\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ als $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ um.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$