Analysis Beispiele

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = x^{3} - 8$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Schritt 1.1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ um.

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Setze $x^{2}$ gleich $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3.2

Löse $x^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x^{3} - 8)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x^{3} - 8)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Differenz kubischer Terme, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.1.3.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.1.4

Wende die Produktregel auf $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ an.

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.3

Setze ${(x - 2)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.1

Setze ${(x - 2)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Löse ${(x - 2)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.4

Setze ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.1

Setze ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ gleich $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Schritt 2.4.2.4.2

Löse ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 2.4.2.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 2.4.2.4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Schritt 2.4.2.4.2.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.4.2.4.2.4

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = 4$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.4.2.4.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.2.5.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.4.2.4.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.2.4.2.5.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.5.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.4.2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.4.2.4.2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.2.4.2.6.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.4.2.4.2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.2.4.2.7.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Schritt 2.4.2.4.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.3

Subtrahiere $16$ von $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.4

Schreibe $- 12$ als $- 1 (12)$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (12)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.7

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 2.4.2.4.2.7.1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.4.2.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ wahr machen.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x^{3} - 8)}^{4}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 8)}^{4}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $8$ von $0$ .

${(- 8)}^{4}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $- 8$ mit $4$ .

$4096$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$0^{4}$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(0, 4096), (2, 0)$

Schritt 5