Analysis Beispiele

$3^{x} \sin (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3^{x}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $3$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

Schritt 1.1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $3^{x}$ aus $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $3^{x}$ aus $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ heraus.

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $3^{x}$ aus $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ heraus.

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Schritt 2.4

Setze $3^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze $3^{x}$ gleich $0$ .

$3^{x} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $3^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Schritt 2.4.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 2.4.2.3

Es gibt keine Lösung für $3^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 2.5

Setze $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ gleich $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.3

Separiere Brüche.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.4

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.5

Dividiere $\ln (3)$ durch $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.6

Separiere Brüche.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 2.5.2.7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Schritt 2.5.2.8

Dividiere $0$ durch $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

Schritt 2.5.2.9

Mutltipliziere $0$ mit $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

Schritt 2.5.2.10

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

Schritt 2.5.2.11

Teile jeden Ausdruck in $\ln (3) \tan (x) = - 1$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.11.1

Teile jeden Ausdruck in $\ln (3) \tan (x) = - 1$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Schritt 2.5.2.11.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.11.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 2.5.2.11.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Schritt 2.5.2.11.2.1.2

Dividiere $\tan (x)$ durch $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Schritt 2.5.2.11.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.11.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

Schritt 2.5.2.12

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

Schritt 2.5.2.13

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.13.1

Berechne $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ .

$x = - 0.73844341$

Schritt 2.5.2.14

Die Tangensfunktion ist negativ im zweiten und vierten Quadranten. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im dritten Quadranten zu finden.

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

Schritt 2.5.2.15

Vereinfache den Ausdruck, um die zweite Lösung zu ermitteln.

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Schritt 2.5.2.15.1

Addiere $2 π$ zu $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

Schritt 2.5.2.15.2

Der resultierende Winkel von $2.40314923$ ist positiv und gleich $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = 2.40314923$

Schritt 2.5.2.16

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.5.2.16.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.5.2.16.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.2.16.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.5.2.16.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.5.2.17

Addiere $π$ zu jedem negativen Winkel, um positive Winkel zu erhalten.

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Schritt 2.5.2.17.1

Addiere $π$ zu $- 0.73844341$ , um den positiven Winkel zu bestimmen.

$- 0.73844341 + π$

Schritt 2.5.2.17.2

Ersetze durch dezimale Näherung.

$3.14159265 - 0.73844341$

Schritt 2.5.2.17.3

Subtrahiere $0.73844341$ von $3.14159265$ .

$2.40314923$

Schritt 2.5.2.17.4

Liste die neuen Winkel auf.

$x = 2.40314923$

Schritt 2.5.2.18

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ wahr machen.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $3^{x} \sin (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2.40314923$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2.40314923$ .

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Potenziere $3$ mit $2.40314923$ .

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $14.01501538$ mit $\sin (2.40314923)$ .

$9.43403393$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 5.54474188$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $5.54474188$ .

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $3$ mit $5.54474188$ .

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $442.09357916$ mit $\sin (5.54474188)$ .

$- 297.58981445$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 2.40314923 + 2 π$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $2.40314923 + 2 π$ .

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Addiere $2.40314923$ und $2 π$ .

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Schritt 4.3.2.2

Potenziere $3$ mit $8.68633454$ .

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

Schritt 4.3.2.3

Addiere $2.40314923$ und $2 π$ .

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

Schritt 4.3.2.4

Mutltipliziere $13945.52395695$ mit $\sin (8.68633454)$ .

$9387.25664074$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = 2.40314923 + 3 π$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $2.40314923 + 3 π$ .

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Addiere $2.40314923$ und $3 π$ .

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Schritt 4.4.2.2

Potenziere $3$ mit $11.82792719$ .

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

Schritt 4.4.2.3

Addiere $2.40314923$ und $3 π$ .

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

Schritt 4.4.2.4

Mutltipliziere $439901.52220938$ mit $\sin (11.82792719)$ .

$- 296114.25848054$

Schritt 4.5

Berechne bei $x = 2.40314923 + 4 π$ .

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Schritt 4.5.1

Ersetze $x$ durch $2.40314923 + 4 π$ .

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Schritt 4.5.2

Vereinfache.

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Schritt 4.5.2.1

Addiere $2.40314923$ und $4 π$ .

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Schritt 4.5.2.2

Potenziere $3$ mit $14.96951985$ .

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

Schritt 4.5.2.3

Addiere $2.40314923$ und $4 π$ .

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

Schritt 4.5.2.4

Mutltipliziere $13876377.0970174$ mit $\sin (14.96951985)$ .

$9340711.28884108$

Schritt 4.6

Liste all Punkte auf.

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

Schritt 5