Analysis Beispiele

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Schritt 1.1.5

Da $1$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Schritt 1.1.6

Addiere $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ und $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (t)$ nach $t$ ist $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $t$ aus $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $t$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $t$ aus $3 t^{2}$ heraus.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $t$ aus $2 t$ heraus.

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $t$ aus $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ heraus.

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $t$ aus $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ heraus.

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $t$ gleich $0$ .

$t = 0$

Schritt 2.5

Setze $4 t^{2} + 3 t + 2$ gleich $0$ und löse nach $t$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $4 t^{2} + 3 t + 2$ gleich $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ nach $t$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.2.2

Setze die Werte $a = 4$ , $b = 3$ und $c = 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $t$ auf.

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.3.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.4.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $i \sqrt{23}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 2.5.2.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 2.5.2.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.5.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Schritt 2.5.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.3

Subtrahiere $32$ von $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.4

Schreibe $- 23$ als $- 1 (23)$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (23)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ um.

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Schritt 2.5.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.5.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.5.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- i \sqrt{23}$ heraus.

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 2.5.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ heraus.

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Schritt 2.5.2.5.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.5.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ wahr machen.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ an jeden $t$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $t = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $t$ durch $0$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 1)$

Schritt 5