Analysis Beispiele

$e^{x} - x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x} - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = e^{x} - 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $e^{x} - 1$ .

$e^{x} - 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $e^{x} - 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$e^{x} - 1 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} = 1$

Schritt 2.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (1)$

Schritt 2.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.4.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (1)$

Schritt 2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (1)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (1)$

Schritt 2.5

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $e^{x} - x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$e^{0} - (0)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$1 - (0)$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $0$ von $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 1)$

Schritt 5