Analysis Beispiele

$x^{2} y = 120$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 120$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} y = 120$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{120}{x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 2.1.1

Da $120$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{120}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.1.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$120 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.1.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Schritt 2.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 2$ .

$120 (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $120$ .

$- 240 x^{- 3}$

Schritt 2.1.5

Vereinfache.

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Schritt 2.1.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 240 \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 2.1.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.1.5.2.1

Kombiniere $- 240$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 240}{x^{3}}$

Schritt 2.1.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

Schritt 2.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{240}{x^{3}}$ .

$- \frac{240}{x^{3}}$

Schritt 3

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{240}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 3.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{240}{x^{3}} = 0$

Schritt 3.2

Setze den Zähler gleich Null.

$240 = 0$

Schritt 3.3

Da $240 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 4

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Setze den Nenner in $\frac{240}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 5

Werte $\frac{120}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 5.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 5.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{120}{{(0)}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache.

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Schritt 5.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{120}{0}$

Schritt 5.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 6

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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