Analysis Beispiele

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.1.3

Da $2 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $4 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.1.4.2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $2 x + 2 y + 2$ und $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Schritt 1.1.5.3

Addiere $2 x + 2 y + 2$ und $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Schritt 2.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x + 2 = - 2 y$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 2 y - 2$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 2 y - 2$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 2 y - 2$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3.1.1.2.4

Dividiere $- y$ durch $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Schritt 2.3.3.1.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$x = - y - 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - y - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe ${(- y - 1)}^{2}$ als $(- y - 1) (- y - 1)$ um.

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $(- y - 1) (- y - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.5

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.6

Multipliziere $- 1 (- y)$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Addiere $y$ und $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.8

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.1.8.1

Bewege $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.8.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.9

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.1.11

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Addiere $y^{2} + 2 y + 1$ und $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2.1.3

Subtrahiere $2 y$ von $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2.1.4

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Schritt 4.1.2.2.3

Addiere $- 2 y$ und $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Schritt 4.1.2.2.4

Addiere $- 1$ und $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Schritt 5