Analysis Beispiele

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10 \sec (x)$ nach $x$ gleich $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Schritt 1.1.2.2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \tan (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 1.1.3.2

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Schritt 2.2

Stelle jede Seite der Gleichung graphisch dar. Die Lösung ist der x-Wert des Schnittpunktes.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze das Argument in $\sec (x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.2

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Werte $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{7 π}{6}$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an durch Ermitteln des Winkels mit äquivalenten trigonometrischen Werten im ersten Quadranten. Mache den Ausdruck negativ, da der Sekans im dritten Quadranten negativ ist.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.5

Multipliziere $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Kombiniere $- 10$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Schritt 4.1.2.1.8

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.9

Kombiniere $5$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 20 \sqrt{3}$ und $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $3$ .

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Schritt 4.1.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 15 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 4.1.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Schritt 4.1.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Schritt 4.1.2.2.3.2.4

Dividiere $- 5 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{11 π}{6}$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.2

Der genau Wert von $\sec (\frac{π}{6})$ ist $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Kombiniere $10$ und $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Schritt 4.2.2.1.6

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im vierten Quadranten negativ ist.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Schritt 4.2.2.1.7

Der genau Wert von $\tan (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Schritt 4.2.2.1.8

Multipliziere $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Schritt 4.2.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.8.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $5 \sqrt{3}$ von $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $15 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Schritt 4.2.2.2.3.2.4

Dividiere $5 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5