Analysis Beispiele

$12 x^{3} + 24 x^{2} - 12 x - 24$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $12 x^{3} + 24 x^{2} - 12 x - 24$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $12 x^{3}$ nach $x$ gleich $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $12$ .

$36 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x^{2}$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$36 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$36 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $24$ .

$36 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 12$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 12 x$ nach $x$ gleich $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 12$ mit $1$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 24]$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.5.1

Da $- 24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 24$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $36 x^{2} + 48 x - 12$ und $0$ .

$f' (x) = 36 x^{2} + 48 x - 12$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $36 x^{2} + 48 x - 12$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $36 x^{2} + 48 x - 12 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$36 x^{2} + 48 x - 12 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2} + 48 x - 12$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $36 x^{2}$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 48 x - 12 = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $12$ aus $48 x$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (4 x) - 12 = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $12$ aus $- 12$ heraus.

$12 (3 x^{2}) + 12 (4 x) + 12 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2}) + 12 (4 x)$ heraus.

$12 (3 x^{2} + 4 x) + 12 (- 1) = 0$

Schritt 2.2.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (3 x^{2} + 4 x) + 12 (- 1)$ heraus.

$12 (3 x^{2} + 4 x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $12 (3 x^{2} + 4 x - 1) = 0$ durch $12$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $12 (3 x^{2} + 4 x - 1) = 0$ durch $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} + 4 x - 1)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 (3 x^{2} + 4 x - 1)}{12} = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $3 x^{2} + 4 x - 1$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 4 x - 1 = \frac{0}{12}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $12$ .

$3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Schritt 2.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6

Vereinfache.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.7.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.7.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Schritt 2.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Schritt 2.7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.8.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 2.8.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 2.8.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 2.8.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{7}$ heraus.

$x = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Schritt 2.8.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ heraus.

$x = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Schritt 2.8.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 2.9

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $12 x^{3} + 24 x^{2} - 12 x - 24$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$12 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ an.

$12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ an.

$12 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$12 (- \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$12 (- \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{3}}{27}) + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{3}}{27}$ in den Zähler.

$12 \frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{27} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (4) \frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{27} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 \cdot 4 \frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{3 \cdot 9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4 \frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{3 \cdot 9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{- {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{9}$ .

$\frac{4 (- {(2 - \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 {(2 - \sqrt{7})}^{3}}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{- 4 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 2 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.8.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 4 (8 + 3 \cdot 2^{2} (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 2 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (8 + 3 \cdot 4 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 2 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 (- \sqrt{7}) + 3 \cdot 2 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $12$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 3 \cdot 2 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 {(- \sqrt{7})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.6

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{7}$ an.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 (1 {\sqrt{7}}^{2}) + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.8

Mutltipliziere ${\sqrt{7}}^{2}$ mit $1$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 {\sqrt{7}}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.1.2.1.8.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.8.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{1} + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.9.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7 + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.10

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 + {(- \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.11

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{7}$ an.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.12

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.13

Schreibe ${\sqrt{7}}^{3}$ als $\sqrt{7^{3}}$ um.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - \sqrt{7^{3}})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.14

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - \sqrt{343})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.15

Schreibe $343$ als $7^{2} \cdot 7$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.8.15.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - \sqrt{49 (7)})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.15.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - \sqrt{7^{2} \cdot 7})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - (7 \sqrt{7}))}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.8.17

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 (8 - 12 \sqrt{7} + 42 - 7 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.9

Addiere $8$ und $42$ .

$\frac{- 4 (50 - 12 \sqrt{7} - 7 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.10

Subtrahiere $7 \sqrt{7}$ von $- 12 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.1.2.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 - \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 (1 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.14

Mutltipliziere $\frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 24 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{9} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.16.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 3 (8) \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{9} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.16.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot 8 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3 \cdot 3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot 8 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3 \cdot 3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + 8 \frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.17

Kombiniere $8$ und $\frac{{(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3}$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 {(2 - \sqrt{7})}^{2}}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.18

Schreibe ${(2 - \sqrt{7})}^{2}$ als $(2 - \sqrt{7}) (2 - \sqrt{7})$ um.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 ((2 - \sqrt{7}) (2 - \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.19

Multipliziere $(2 - \sqrt{7}) (2 - \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 (2 - \sqrt{7}) - \sqrt{7} (2 - \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} (2 - \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 2 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1.20.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.20.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 (- \sqrt{7}) - \sqrt{7} \cdot 2 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - \sqrt{7} \cdot 2 - \sqrt{7} (- \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} - \sqrt{7} (- \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4

Multipliziere $- \sqrt{7} (- \sqrt{7})$ .

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Schritt 4.1.2.1.20.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 1 \sqrt{7} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4.3

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4.4

Potenziere $\sqrt{7}$ mit $1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{1 + 1})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + {\sqrt{7}}^{2})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.1.2.1.20.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + {(7^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 7^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.20.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 7^{\frac{2}{2}})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 7^{1})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7} + 7)}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.2

Addiere $4$ und $7$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 2 \sqrt{7} - 2 \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.20.3

Subtrahiere $2 \sqrt{7}$ von $- 2 \sqrt{7}$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.21.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} - 12 \frac{- (2 - \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.1.2.1.21.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 3 (- 4) \frac{- (2 - \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.1.2.1.21.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 3 \cdot - 4 \frac{- (2 - \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.1.2.1.21.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} - 4 (- (2 - \sqrt{7})) - 24$

Schritt 4.1.2.1.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 4 (2 - \sqrt{7}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.23

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 4 \cdot 2 + 4 (- \sqrt{7}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.24

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 8 + 4 (- \sqrt{7}) - 24$

Schritt 4.1.2.1.25

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.2

Um $\frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 (11 - 4 \sqrt{7})}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{4 (50 - 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 (50 - 19 \sqrt{7}) + 8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \cdot 50 - 4 (- 19 \sqrt{7}) + 8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $50$ .

$\frac{- 200 - 4 (- 19 \sqrt{7}) + 8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.3

Mutltipliziere $- 19$ mit $- 4$ .

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + 8 (11 - 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + (8 \cdot 11 + 8 (- 4 \sqrt{7})) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.5

Mutltipliziere $8$ mit $11$ .

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + (88 + 8 (- 4 \sqrt{7})) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $8$ .

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + (88 - 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + 88 \cdot 3 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.8

Mutltipliziere $88$ mit $3$ .

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + 264 - 32 \sqrt{7} \cdot 3}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 32$ .

$\frac{- 200 + 76 \sqrt{7} + 264 - 96 \sqrt{7}}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.10

Addiere $- 200$ und $264$ .

$\frac{64 + 76 \sqrt{7} - 96 \sqrt{7}}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.5.11

Subtrahiere $96 \sqrt{7}$ von $76 \sqrt{7}$ .

$\frac{64 - 20 \sqrt{7}}{9} + 8 - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.6

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64 - 20 \sqrt{7}}{9} + 8 \cdot \frac{9}{9} - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.7

Kombiniere $8$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64 - 20 \sqrt{7}}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 - 20 \sqrt{7} + 8 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{64 - 20 \sqrt{7} + 72}{9} - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.8.3

Addiere $64$ und $72$ .

$\frac{136 - 20 \sqrt{7}}{9} - 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.1.2.9

Um $- 4 \sqrt{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 - 20 \sqrt{7}}{9} - 4 \sqrt{7} \cdot \frac{9}{9} - 24$

Schritt 4.1.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.10.1

Kombiniere $- 4 \sqrt{7}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 - 20 \sqrt{7}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{7} \cdot 9}{9} - 24$

Schritt 4.1.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{136 - 20 \sqrt{7} - 4 \sqrt{7} \cdot 9}{9} - 24$

Schritt 4.1.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.11.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 4$ .

$\frac{136 - 20 \sqrt{7} - 36 \sqrt{7}}{9} - 24$

Schritt 4.1.2.11.2

Subtrahiere $36 \sqrt{7}$ von $- 20 \sqrt{7}$ .

$\frac{136 - 56 \sqrt{7}}{9} - 24$

Schritt 4.1.2.12

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 - 56 \sqrt{7}}{9} - 24 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 4.1.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.13.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 - 56 \sqrt{7}}{9} + \frac{- 24 \cdot 9}{9}$

Schritt 4.1.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{136 - 56 \sqrt{7} - 24 \cdot 9}{9}$

Schritt 4.1.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.14.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $9$ .

$\frac{136 - 56 \sqrt{7} - 216}{9}$

Schritt 4.1.2.14.2

Subtrahiere $216$ von $136$ .

$\frac{- 80 - 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.1.2.15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.1.2.15.1

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$\frac{- 1 (80) - 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.1.2.15.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 56 \sqrt{7}$ heraus.

$\frac{- 1 (80) - (56 \sqrt{7})}{9}$

Schritt 4.1.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (80) - (56 \sqrt{7})$ heraus.

$\frac{- 1 (80 + 56 \sqrt{7})}{9}$

Schritt 4.1.2.15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{80 + 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$12 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{3} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ an.

$12 ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{3}) + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ an.

$12 ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$12 (- \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{3}}{3^{3}}) + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $3$ mit $3$ .

$12 (- \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{3}}{27}) + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{3}}{27}$ in den Zähler.

$12 \frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{27} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$3 (4) \frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{27} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 \cdot 4 \frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{3 \cdot 9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \cdot 4 \frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{3 \cdot 9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Forme den Ausdruck um.

$4 \frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.5

Kombiniere $4$ und $\frac{- {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{9}$ .

$\frac{4 (- {(2 + \sqrt{7})}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{- 4 {(2 + \sqrt{7})}^{3}}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.7

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{- 4 (2^{3} + 3 \cdot 2^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 2 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.8.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{- 4 (8 + 3 \cdot 2^{2} \sqrt{7} + 3 \cdot 2 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (8 + 3 \cdot 4 \sqrt{7} + 3 \cdot 2 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 3 \cdot 2 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 {\sqrt{7}}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5

Schreibe ${\sqrt{7}}^{2}$ als $7$ um.

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Schritt 4.2.2.1.8.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{7}$ als $7^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 {(7^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.8.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7^{1} + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 6 \cdot 7 + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.6

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + {\sqrt{7}}^{3})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.7

Schreibe ${\sqrt{7}}^{3}$ als $\sqrt{7^{3}}$ um.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + \sqrt{7^{3}})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.8

Potenziere $7$ mit $3$ .

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + \sqrt{343})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.9

Schreibe $343$ als $7^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 4.2.2.1.8.9.1

Faktorisiere $49$ aus $343$ heraus.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + \sqrt{49 (7)})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.9.2

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + \sqrt{7^{2} \cdot 7})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.8.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{- 4 (8 + 12 \sqrt{7} + 42 + 7 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.9

Addiere $8$ und $42$ .

$\frac{- 4 (50 + 12 \sqrt{7} + 7 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.10

Addiere $12 \sqrt{7}$ und $7 \sqrt{7}$ .

$\frac{- 4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 {(- \frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.12

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1.12.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2 + \sqrt{7}}{3})}^{2}) - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.12.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 ({(- 1)}^{2} \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.13

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 (1 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}) - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.14

Mutltipliziere $\frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3^{2}} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.15

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 24 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{9} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.16.1

Faktorisiere $3$ aus $24$ heraus.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 3 (8) \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{9} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.16.2

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot 8 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3 \cdot 3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 3 \cdot 8 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3 \cdot 3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.16.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + 8 \frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.17

Kombiniere $8$ und $\frac{{(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3}$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 {(2 + \sqrt{7})}^{2}}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.18

Schreibe ${(2 + \sqrt{7})}^{2}$ als $(2 + \sqrt{7}) (2 + \sqrt{7})$ um.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 ((2 + \sqrt{7}) (2 + \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.19

Multipliziere $(2 + \sqrt{7}) (2 + \sqrt{7})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 (2 + \sqrt{7}) + \sqrt{7} (2 + \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.19.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + \sqrt{7} (2 + \sqrt{7}))}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.19.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (2 \cdot 2 + 2 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + \sqrt{7} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.1.20.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.20.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + \sqrt{7} \cdot 2 + \sqrt{7} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{7}$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + 2 \cdot \sqrt{7} + \sqrt{7} \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.1.3

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + \sqrt{7 \cdot 7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.1.4

Mutltipliziere $7$ mit $7$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + \sqrt{49})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.1.5

Schreibe $49$ als $7^{2}$ um.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + \sqrt{7^{2}})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.1.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (4 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7} + 7)}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.2

Addiere $4$ und $7$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 2 \sqrt{7} + 2 \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.20.3

Addiere $2 \sqrt{7}$ und $2 \sqrt{7}$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} - 12 (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.21

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.21.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ in den Zähler.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} - 12 \frac{- (2 + \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.2.2.1.21.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} + 3 (- 4) \frac{- (2 + \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.2.2.1.21.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} + 3 \cdot - 4 \frac{- (2 + \sqrt{7})}{3} - 24$

Schritt 4.2.2.1.21.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} - 4 (- (2 + \sqrt{7})) - 24$

Schritt 4.2.2.1.22

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} + 4 (2 + \sqrt{7}) - 24$

Schritt 4.2.2.1.23

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} + 4 \cdot 2 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.1.24

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.2

Um $\frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3} \cdot \frac{3}{3} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{8 (11 + 4 \sqrt{7})}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{4 (50 + 19 \sqrt{7})}{9} + \frac{8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 4 (50 + 19 \sqrt{7}) + 8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 4 \cdot 50 - 4 (19 \sqrt{7}) + 8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $50$ .

$\frac{- 200 - 4 (19 \sqrt{7}) + 8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.3

Mutltipliziere $19$ mit $- 4$ .

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + 8 (11 + 4 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + (8 \cdot 11 + 8 (4 \sqrt{7})) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.5

Mutltipliziere $8$ mit $11$ .

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + (88 + 8 (4 \sqrt{7})) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.6

Mutltipliziere $4$ mit $8$ .

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + (88 + 32 \sqrt{7}) \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + 88 \cdot 3 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.8

Mutltipliziere $88$ mit $3$ .

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + 264 + 32 \sqrt{7} \cdot 3}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.9

Mutltipliziere $3$ mit $32$ .

$\frac{- 200 - 76 \sqrt{7} + 264 + 96 \sqrt{7}}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.10

Addiere $- 200$ und $264$ .

$\frac{64 - 76 \sqrt{7} + 96 \sqrt{7}}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.5.11

Addiere $- 76 \sqrt{7}$ und $96 \sqrt{7}$ .

$\frac{64 + 20 \sqrt{7}}{9} + 8 + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.6

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64 + 20 \sqrt{7}}{9} + 8 \cdot \frac{9}{9} + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.7

Kombiniere $8$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{64 + 20 \sqrt{7}}{9} + \frac{8 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 + 20 \sqrt{7} + 8 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.8.2

Mutltipliziere $8$ mit $9$ .

$\frac{64 + 20 \sqrt{7} + 72}{9} + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.8.3

Addiere $64$ und $72$ .

$\frac{136 + 20 \sqrt{7}}{9} + 4 \sqrt{7} - 24$

Schritt 4.2.2.9

Um $4 \sqrt{7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 + 20 \sqrt{7}}{9} + 4 \sqrt{7} \cdot \frac{9}{9} - 24$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.10.1

Kombiniere $4 \sqrt{7}$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 + 20 \sqrt{7}}{9} + \frac{4 \sqrt{7} \cdot 9}{9} - 24$

Schritt 4.2.2.10.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{136 + 20 \sqrt{7} + 4 \sqrt{7} \cdot 9}{9} - 24$

Schritt 4.2.2.11

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.11.1

Mutltipliziere $9$ mit $4$ .

$\frac{136 + 20 \sqrt{7} + 36 \sqrt{7}}{9} - 24$

Schritt 4.2.2.11.2

Addiere $20 \sqrt{7}$ und $36 \sqrt{7}$ .

$\frac{136 + 56 \sqrt{7}}{9} - 24$

Schritt 4.2.2.12

Um $- 24$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 + 56 \sqrt{7}}{9} - 24 \cdot \frac{9}{9}$

Schritt 4.2.2.13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.13.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{136 + 56 \sqrt{7}}{9} + \frac{- 24 \cdot 9}{9}$

Schritt 4.2.2.13.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{136 + 56 \sqrt{7} - 24 \cdot 9}{9}$

Schritt 4.2.2.14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.14.1

Mutltipliziere $- 24$ mit $9$ .

$\frac{136 + 56 \sqrt{7} - 216}{9}$

Schritt 4.2.2.14.2

Subtrahiere $216$ von $136$ .

$\frac{- 80 + 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.2.2.15

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 4.2.2.15.1

Schreibe $- 80$ als $- 1 (80)$ um.

$\frac{- 1 (80) + 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.2.2.15.2

Faktorisiere $- 1$ aus $56 \sqrt{7}$ heraus.

$\frac{- 1 (80) - (- 56 \sqrt{7})}{9}$

Schritt 4.2.2.15.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (80) - (- 56 \sqrt{7})$ heraus.

$\frac{- 1 (80 - 56 \sqrt{7})}{9}$

Schritt 4.2.2.15.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{80 - 56 \sqrt{7}}{9}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{80 + 56 \sqrt{7}}{9}), (- \frac{2 + \sqrt{7}}{3}, - \frac{80 - 56 \sqrt{7}}{9})$

Schritt 5