Analysis Beispiele

$16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16 x$ nach $x$ gleich $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $16$ mit $1$ .

$16 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$16 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $x^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Schritt 1.1.3.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$16 - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$16 + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 1.1.3.11

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3.12

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3.13

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Schritt 1.1.3.13.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3.13.3

Forme den Ausdruck um.

$16 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.1.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{3}{2}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ mit $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ um.

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ durch $- 16$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ durch $- 16$ .

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{3}{2}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{- 1}{- 16}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16}$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{2}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Vereinfache ${(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{16}$ an.

$x = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{16^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$16 - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{3}}$ als $x^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{3} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{3} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{x^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x < 0$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Schritt 4

Werte $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$16 (\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}) + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{16}{16^{\frac{2}{3}}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.2

Bringe $16^{\frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$16 \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3

Multipliziere $16$ mit $16^{- \frac{2}{3}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $16^{- \frac{2}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Potenziere $16$ mit $1$ .

$16^{1} \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16^{1 - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$16^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16^{\frac{3 - 2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.3.4

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.4

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Multipliziere die Exponenten in ${(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.6

Multipliziere $2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.6.1

Schreibe $16$ als $2^{4}$ um.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Schritt 4.1.2.6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.1.2.6.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{3}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$

Schritt 4.1.2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{1 + \frac{4}{3}}$

Schritt 4.1.2.6.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}$

Schritt 4.1.2.6.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3 + 4}{3}}$

Schritt 4.1.2.6.6

Addiere $3$ und $4$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$16 (0) + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $16$ mit $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$0 + 2 \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Schritt 4.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0 + 2 \frac{1}{0^{1}}$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Berechne den Exponenten.

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Schritt 4.2.2.1.3.5

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Schritt 4.2.2.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}, 16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}})$

Schritt 5