Analysis Beispiele

$3 a x^{2} + 2 b x + c$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 a x^{2} + 2 b x + c$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [3 a x^{2}] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x^{2}] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d a} [3 a x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3 x^{2}$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $3 a x^{2}$ nach $a$ gleich $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d a} [2 b x] + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.3.1

Da $2 b x$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $2 b x$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0 + \frac{d}{d a} [c]$

Schritt 1.1.3.2

Da $c$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $c$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0$

Schritt 1.1.4

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$f' (a) = 3 x^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (a)$ nach $a$ ist $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} = 0$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = 0$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.3.1

Dividiere $0$ durch $3$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 2.4.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 2.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 2.4.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 3

Werte $3 a x^{2} + 2 b x + c$ an jeden $a$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Berechne bei $a = 0$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze $a$ durch $0$ .

$3 (0) \cdot x^{2} + 2 b x + c$

Schritt 3.1.2

Vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 \cdot x^{2} + 2 b x + c$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$0 + 2 b x + c$

Schritt 3.1.2.2

Addiere $0$ und $2 b x$ .

$2 b x + c$

Schritt 3.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 2 b x + c)$

Schritt 4