Analysis Beispiele

$3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 36$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ nach $x$ gleich $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.3.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 1.1.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 1.1.3.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.9

Kombiniere $- 36$ und $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.3.10

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3.11

Faktorisiere $3$ aus $- 36$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.12.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 1.1.3.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3.12.3

Forme den Ausdruck um.

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.1.3.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ mit $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{2}{3}}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ in den Zähler.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ um.

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $- 12$ durch $- 3$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Schritt 2.5.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.4.1.1

Vereinfache ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.5.4.1.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.1.1.2

Vereinfache.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.4.2.1

Vereinfache $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.5.4.2.1.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Schritt 2.5.4.2.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.5.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Schritt 2.5.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm 2^{3}$

Schritt 2.5.4.2.1.3

Potenziere $2$ mit $3$ .

$x = \pm 8$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 8$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 8$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 8, - 8$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x^{2}}$ als $x^{\frac{2}{3}}$ neu zu schreiben.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.3.3.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3.3.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 8$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $8$ .

$3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$24 - 36 \cdot 2^{1}$

Schritt 4.1.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$24 - 36 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $2$ .

$24 - 72$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $72$ von $24$ .

$- 48$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 8$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 8$ .

$3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 8$ .

$- 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Schreibe $- 8$ als ${(- 2)}^{3}$ um.

$- 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 24 - 36 {(- 2)}^{1}$

Schritt 4.2.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$- 24 - 36 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $- 2$ .

$- 24 + 72$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- 24$ und $72$ .

$48$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$3 (0) - 36 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$0 - 36 {(0)}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$0 - 36 {(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 36 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 - 36 \cdot 0^{3 (\frac{1}{3})}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$0 - 36 \cdot 0^{1}$

Schritt 4.3.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$0 - 36 \cdot 0$

Schritt 4.3.2.1.6

Mutltipliziere $- 36$ mit $0$ .

$0 + 0$

Schritt 4.3.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(8, - 48), (- 8, 48), (0, 0)$

Schritt 5