Analysis Beispiele

$8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $8 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x y$ nach $x$ gleich $8 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$8 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$8 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$8 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Schritt 1.1.4

Da $- 4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$8 y - 3 x^{2} + 0$

Schritt 1.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Addiere $8 y - 3 x^{2}$ und $0$ .

$8 y - 3 x^{2}$

Schritt 1.1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 8 y$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{2} + 8 y$ .

$- 3 x^{2} + 8 y$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{2} + 8 y = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{2} + 8 y = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 x^{2} = - 8 y$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 8 y$ durch $- 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 x^{2} = - 8 y$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{8 y}{3}$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{8 y}{3}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{8 y}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Schreibe $\sqrt{\frac{8 y}{3}}$ als $\frac{\sqrt{8 y}}{\sqrt{3}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{8 y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1

Schreibe $8 y$ als $2^{2} \cdot (2 y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2) y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2.1.3

Füge Klammern hinzu.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot (2 y)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 2.5.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 2.5.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 2.5.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 2.5.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 (2 y)}}{3}$

Schritt 2.5.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 2.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 2.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 2.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$8 (\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}) \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Multipliziere $8 (\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1.1

Kombiniere $8$ und $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{6 y})}{3} \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Kombiniere $\frac{16 \sqrt{6 y}}{3}$ und $y$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ an.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{{(2 \sqrt{6 y})}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6 y}$ an.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.4.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Schreibe ${\sqrt{6 y}}^{3}$ als $\sqrt{{(6 y)}^{3}}$ um.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{3} y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{216 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Schreibe $216 y^{3}$ als ${(6 y)}^{2} \cdot (6 y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.4.5.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{36 (6) y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 (y^{2} y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.4

Bewege $6$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} y^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.5

Schreibe $6^{2} y^{2}$ als ${(6 y)}^{2}$ um.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.5.6

Füge Klammern hinzu.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot (6 y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \cdot 6 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.4.7

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{48 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{48 y \sqrt{6 y}}{27} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.6.1

Faktorisiere $3$ aus $48 y \sqrt{6 y}$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{27} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 (9)} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 \cdot 9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.1.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.2

Stelle die Terme um.

$\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.3

Um $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{9} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 - 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 - 16 y \sqrt{6 y}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.6.1.1

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $16 y \sqrt{6 y} \cdot 3$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3) - 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.6.1.2

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $- 16 y \sqrt{6 y}$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3) + 16 y \sqrt{6 y} (- 1)}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.6.1.3

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $16 y \sqrt{6 y} (3) + 16 y \sqrt{6 y} (- 1)$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3 - 1)}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.6.2

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 2}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.1.2.6.3

Mutltipliziere $2$ mit $16$ .

$\frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$8 (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}) \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere $8 (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kombiniere $- 8$ und $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$\frac{- 8 (2 \sqrt{6 y})}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{- 16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kombiniere $y$ und $\frac{16 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{y (16 \sqrt{6 y})}{3} - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.4

Bringe $16$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{16 \cdot y \sqrt{6 y}}{3} - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.5.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ an.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3}) - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ an.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{6 y})}^{3}}{3^{3}}) - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.5.3

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{6 y}$ an.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}}) - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{3}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.6.1

Bewege ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{3}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.6.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3 + 1} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.6.3

Addiere $3$ und $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{4} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + 1 \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}}$ mit $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.9.1

Potenziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.2

Schreibe ${\sqrt{6 y}}^{3}$ als $\sqrt{{(6 y)}^{3}}$ um.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.3

Wende die Produktregel auf $6 y$ an.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{3} y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.4

Potenziere $6$ mit $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{216 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5

Schreibe $216 y^{3}$ als ${(6 y)}^{2} \cdot (6 y)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.9.5.1

Faktorisiere $36$ aus $216$ heraus.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{36 (6) y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5.2

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 (y^{2} y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5.4

Bewege $6$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} y^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5.5

Schreibe $6^{2} y^{2}$ als ${(6 y)}^{2}$ um.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.5.6

Füge Klammern hinzu.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot (6 y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \cdot 6 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.9.7

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{48 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.10

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{48 y \sqrt{6 y}}{27} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $48$ und $27$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.11.1

Faktorisiere $3$ aus $48 y \sqrt{6 y}$ heraus.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{27} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 (9)} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 \cdot 9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.2

Um $- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $9$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{9} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 + 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.1.1

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 + 16 y \sqrt{6 y}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.5.1.1.1

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.1.1.2

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $16 y \sqrt{6 y}$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y} (1)}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.1.1.3

Faktorisiere $16 y \sqrt{6 y}$ aus $16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y} (1)$ heraus.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3 + 1)}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 3 + 1)}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.1.3

Addiere $- 3$ und $1$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot - 2}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $16$ .

$\frac{- 32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.2.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}, \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}), (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}, - \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2})$

Schritt 5