Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = - x - 6$ und $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 6$ .

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Schritt 1.1.2.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.6.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.9

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.12

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.13

Schreibe $- 1 {(x - 6)}^{2}$ als $- {(x - 6)}^{2}$ um.

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.14

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.15

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.17

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.17.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.17.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.18

Faktorisiere $x - 6$ aus $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ heraus.

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Schritt 1.1.2.18.1

Faktorisiere $x - 6$ aus $- {(x - 6)}^{2}$ heraus.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.18.2

Faktorisiere $x - 6$ aus $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ heraus.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.18.3

Faktorisiere $x - 6$ aus $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ heraus.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.19

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.19.1

Faktorisiere $x - 6$ aus ${(x - 6)}^{4}$ heraus.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.2.19.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Schritt 1.1.3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3.4

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3.5

Addiere $6$ und $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Schritt 1.1.4.3.6

Addiere $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x + 18 = 0$

Schritt 2.3

Subtrahiere $18$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 18$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 4

Werte $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 18$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 18$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $6$ von $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Subtrahiere $6$ von $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Schritt 4.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $576$ .

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $12$ heraus.

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $576$ heraus.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Schritt 4.1.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Schritt 4.1.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{48} + 9$

Schritt 4.1.2.3

Um $9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $9$ und $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $9$ mit $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Schritt 4.1.2.6.2

Addiere $1$ und $432$ .

$\frac{433}{48}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 6$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Schritt 4.2.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Schritt 5