Analysis Beispiele

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die Ableitung.

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Schritt 1.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.3.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere ${(x - 9)}^{2}$ mit $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 9$ .

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Schritt 1.4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.4.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.5

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ heraus.

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{2}$ heraus.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.2

Faktorisiere $x - 9$ aus $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ heraus.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.5.2.3

Faktorisiere $x - 9$ aus $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ heraus.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Schritt 1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $x - 9$ aus ${(x - 9)}^{4}$ heraus.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.10

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.10.1

Addiere $1$ und $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.10.3

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.10.4

Kombiniere $6$ und $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11

Vereinfache.

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Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.11.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.3

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x - 54$ heraus.

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Schritt 1.11.3.1

Faktorisiere $6$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.3.2

Faktorisiere $6$ aus $- 54$ heraus.

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.3.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (- x) + 6 (- 9)$ heraus.

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.5

Schreibe $- 9$ als $- 1 (9)$ um.

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (9)$ heraus.

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.7

Schreibe $- (x + 9)$ als $- 1 (x + 9)$ um.

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 1.11.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Schritt 2

Setze die Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$6 (x + 9) = 0$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x + 9) = 0$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 2.2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 (x + 9) = 0$ durch $6$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1.3.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 3

Löse die ursprüngliche Funktion $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ bei $x = - 9$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Potenziere $- 18$ mit $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 54$ und $324$ .

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Schritt 3.2.3.1.1

Faktorisiere $54$ aus $- 54$ heraus.

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Schritt 3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $54$ aus $324$ heraus.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Schritt 3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Schritt 3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Schritt 3.2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Schritt 3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Schritt 4

Die horizontale Tangentenlinie der Funktion $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ ist $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Schritt 5