Analysis Beispiele

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

Schritt 1.1.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache.

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Schritt 1.1.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

Schritt 1.1.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

Schritt 1.1.7.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.7.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

Schritt 1.1.7.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

Schritt 1.1.7.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

Schritt 1.1.7.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.1.7.3.5

Addiere $2 x^{3}$ und $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3} - 8 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 8 x$ heraus.

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ heraus.

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 2.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{2} (x^{2} - 4)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

Schritt 4.1.2.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 (0 - 4)$

Schritt 4.1.2.3

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$0 \cdot - 4$

Schritt 4.1.2.4

Mutltipliziere $0$ mit $- 4$ .

$0$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.1.5

Berechne den Exponenten.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Schritt 4.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Schritt 4.2.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Schritt 4.2.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Schritt 4.2.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2^{1} - 4)$

Schritt 4.2.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$2 (2 - 4)$

Schritt 4.2.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$2 \cdot - 2$

Schritt 4.2.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - \sqrt{2}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.2.2

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.2.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{2}$ an.

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.3

Mutltipliziere ${\sqrt{2}}^{2}$ mit $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.3.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (2^{1} - 4)$

Schritt 4.3.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$2 (2 - 4)$

Schritt 4.3.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.3.1

Subtrahiere $4$ von $2$ .

$2 \cdot - 2$

Schritt 4.3.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Schritt 5