Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{3 x - 2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

Schritt 1.1.1.2

Schreibe $\frac{1}{3 x - 2}$ als ${(3 x - 2)}^{- 1}$ um.

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = 3 x - 2$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x - 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x - 2$ .

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Schritt 1.1.3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

Schritt 1.1.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

Schritt 1.1.3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.4.2.1

Kombiniere $- 15$ und $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$15 = 0$

Schritt 2.3

Da $15 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $3 x - 2$ gleich $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Schritt 3.2.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 2$

Schritt 3.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 2$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 4

Werte $\frac{5}{3 x - 2}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{2}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{2 - 2}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{5}{0}$

Schritt 4.1.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden