Analysis Beispiele

$f (x) = \sqrt{81 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{81 - x^{2}}$ als ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 81 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $81 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.7.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.7.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.7.3

Bringe ${(81 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (81 - x^{2})$

Schritt 1.1.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (81) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.9

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Schritt 1.1.10

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Schritt 1.1.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Schritt 1.1.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Schritt 1.1.13

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.13.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Schritt 1.1.13.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Schritt 1.1.13.3

Kombiniere $\frac{- 2}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.13.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.14

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.14.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 1.1.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.14.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{{(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{x}{\sqrt{{(81 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{x}{\sqrt{81 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{81 - x^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{81 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{81 - x^{2}}$ als ${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(81 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(81 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$81 - x^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$81 - x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 81$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 81$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 81$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 81$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 81$

Schritt 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{81}$ .

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Schritt 3.3.3.4.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 9$

Schritt 3.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 9$

Schritt 3.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 9$

Schritt 3.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 9, - 9$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{81 - x^{2}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$81 - x^{2} < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $81$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 81$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 81$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 81$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 81}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 81$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 81$

Schritt 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{81}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.5.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{81}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Vereinfache $\sqrt{81}$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$| x | > \sqrt{9^{2}}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > | 9 |$

Schritt 3.5.4.2.1.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $9$ ist $9$ .

$| x | > 9$

Schritt 3.5.5

Schreibe $| x | > 9$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > 9$

Schritt 3.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 3.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > 9$

Schritt 3.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > 9 & x \geq 0 \\ - x > 9 & x < 0 \end{cases}$

Schritt 3.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > 9$ und $x \geq 0$ .

$x > 9$

Schritt 3.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > 9$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > 9$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{9}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{9}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{9}{- 1}$

Schritt 3.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.7.3.1

Dividiere $9$ durch $- 1$ .

$x < - 9$

Schritt 3.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - 9$ oder $x > 9$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

$x \leq - 9, x \geq 9$

$(- \infty, - 9] \cup [9, \infty)$

Schritt 4

Werte $\sqrt{81 - x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\sqrt{81 - {(0)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\sqrt{81 - 0}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\sqrt{81 + 0}$

Schritt 4.1.2.3

Addiere $81$ und $0$ .

$\sqrt{81}$

Schritt 4.1.2.4

Schreibe $81$ als $9^{2}$ um.

$\sqrt{9^{2}}$

Schritt 4.1.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$9$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 9$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 9$ .

$\sqrt{81 - {(- 9)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 9$ mit $2$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 81}$

Schritt 4.2.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\sqrt{81 - 81}$

Schritt 4.2.2.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\sqrt{0}$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 9$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$\sqrt{81 - {(9)}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\sqrt{81 - 1 \cdot 81}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\sqrt{81 - 81}$

Schritt 4.3.2.3

Subtrahiere $81$ von $81$ .

$\sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 9), (- 9, 0), (9, 0)$

Schritt 5