Analysis Beispiele

$f (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 4 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Schritt 1.1.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Schritt 1.1.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 1.1.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- (2 x))$

Schritt 1.1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.12.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} (- 2 x)$

Schritt 1.1.12.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 1.1.12.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} x$

Schritt 1.1.12.4

Kombiniere $\frac{- 4}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ und $x$ .

$\frac{- 4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.12.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{4 x}{3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(4 - x^{2})}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{4 - x^{2}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{4 - x^{2}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{4 - x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 - x^{2}}$ als ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(4 - x^{2})}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (4 - x^{2}) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 \cdot 4 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$108 + 27 (- x^{2}) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $27$ .

$108 - 27 x^{2} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$108 - 27 x^{2} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $108$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 27 x^{2} = - 108$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 27 x^{2} = - 108$ durch $- 27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 27 x^{2} = - 108$ durch $- 27$ .

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 27$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 27 x^{2}}{- 27} = \frac{- 108}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 108}{- 27}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 108$ durch $- 27$ .

$x^{2} = 4$

Schritt 3.3.3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 3.3.3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 3.3.3.4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 3.3.3.4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 3.3.3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 3.3.3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 3.3.3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 3.4

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 2, x = 2$

Schritt 4

Werte ${(4 - x^{2})}^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${(4 - {(0)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(4 - 0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

${(4 + 0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $4$ und $0$ .

$4^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(4 - {(- 2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.2.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{2}$

Schritt 4.2.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(4 - {(2)}^{2})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(4 - 1 \cdot 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

${(4 - 4)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.2.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.3.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.3.2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{2}$

Schritt 4.3.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 4^{\frac{2}{3}}), (- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 5