Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ und $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.9.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Multipliziere $(2 x - 6) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Bewege $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Subtrahiere $6 x$ von $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.4

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.5

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.4.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.4.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.6.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.3

Addiere $- 8 x$ und $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.2.4

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.1.4.3

Faktorisiere $x^{2} - 6 x + 5$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.4.3.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $5$ und deren Summe $- 6$ ist.

$- 5, - 1$

Schritt 1.1.4.3.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 5) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 5, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 4

Werte $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$\frac{16}{2}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $16$ durch $2$ .

$8$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Schritt 4.2.2.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $0$ durch $- 2$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Schritt 4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(5, 8), (1, 0)$

Schritt 5