Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x - 3$ und $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 1.1.2.7.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 2 (x - 3) x$ heraus.

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Schritt 1.1.2.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 (x - 3) x$ heraus.

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.2.7.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Schritt 1.1.3

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 1.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.4

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 6)$ heraus.

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.6

Schreibe $- (x - 6)$ als $- 1 (x - 6)$ um.

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x - 6 = 0$

Schritt 2.3

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{x - 6}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{x - 3}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 6$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $6$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{3}{36}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $36$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (1)}{36}$

Schritt 4.1.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $36$ heraus.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Schritt 4.1.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Schritt 4.1.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{12}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(6, \frac{1}{12})$

Schritt 5