Analysis Beispiele

$f (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ und $g (x) = 4 x - 5$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.5.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.6.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.6.3

Bringe ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Schritt 1.1.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 1.1.11

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + 0)$

Schritt 1.1.12

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 4$

Schritt 1.1.12.2

Kombiniere $\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ und $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.1.12.3

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$8 = 0$

Schritt 2.3

Da $8 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{4 x - 5} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{4 x - 5})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x - 5}$ als ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 {(4 x - 5)}^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 (4 x - 5) = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$27 (4 x) + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $27$ .

$108 x + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $27$ mit $- 5$ .

$108 x - 135 = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$108 x - 135 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Addiere $135$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$108 x = 135$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $108 x = 135$ durch $108$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $108 x = 135$ durch $108$ .

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $108$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{135}{108}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $135$ und $108$ .

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Schritt 3.3.3.2.3.1.1

Faktorisiere $27$ aus $135$ heraus.

$x = \frac{27 (5)}{108}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.2.3.1.2.1

Faktorisiere $27$ aus $108$ heraus.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Schritt 3.3.3.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 4

Werte ${(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{5}{4}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{4}$ .

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

${(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.2.3

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$0^{2}$

Schritt 4.1.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{5}{4}, 0)$

Schritt 5