Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{7}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = x^{2} - 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} - 4)}^{6} (2 x)$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$

Schritt 1.1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $14 {(x^{2} - 4)}^{6} x$ um.

$f' (x) = 14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x^{2} - 4)}^{6}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze ${(x^{2} - 4)}^{6}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

${(x^{2} - 2^{2})}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 2) (x - 2)$ an.

${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

${(x - 2)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.3

Setze ${(x + 2)}^{6}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.1

Setze ${(x + 2)}^{6}$ gleich $0$ .

${(x + 2)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Löse ${(x + 2)}^{6} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.3.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 2.4.2.4

Setze ${(x - 2)}^{6}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.1

Setze ${(x - 2)}^{6}$ gleich $0$ .

${(x - 2)}^{6} = 0$

Schritt 2.4.2.4.2

Löse ${(x - 2)}^{6} = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.4.2.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 2)}^{6} {(x - 2)}^{6} = 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $14 x {(x^{2} - 4)}^{6} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 2, 2$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x^{2} - 4)}^{7}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${({(0)}^{2} - 4)}^{7}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 4)}^{7}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

${(- 4)}^{7}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $- 4$ mit $7$ .

$- 16384$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{7}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{7}$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${({(2)}^{2} - 4)}^{7}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(4 - 4)}^{7}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0^{7}$

Schritt 4.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - 16384), (- 2, 0), (2, 0)$

Schritt 5