Analysis Beispiele

$f (x) = (4 x - 6) (5 x + 1)$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x - 6$ und $g (x) = 5 x + 1$ .

$(4 x - 6) \frac{d}{d x} [5 x + 1] + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(4 x - 6) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x - 6) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x - 6) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$(4 x - 6) (5 + \frac{d}{d x} [1]) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x - 6) (5 + 0) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $5$ und $0$ .

$(4 x - 6) \cdot 5 + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.6.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $4 x - 6$ .

$5 \cdot (4 x - 6) + (5 x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 6]$

Schritt 1.1.2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.1.2.8

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.1.2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.1.2.10

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 1.1.2.11

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) (4 + 0)$

Schritt 1.1.2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.12.1

Addiere $4$ und $0$ .

$5 (4 x - 6) + (5 x + 1) \cdot 4$

Schritt 1.1.2.12.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $5 x + 1$ .

$5 (4 x - 6) + 4 \cdot (5 x + 1)$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x + 1)$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (4 x) + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x + 5 \cdot - 6 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 6$ .

$20 x - 30 + 4 (5 x) + 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3.4

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$20 x - 30 + 20 x + 4$

Schritt 1.1.3.3.5

Addiere $20 x$ und $20 x$ .

$40 x - 30 + 4$

Schritt 1.1.3.3.6

Addiere $- 30$ und $4$ .

$f' (x) = 40 x - 26$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $40 x - 26$ .

$40 x - 26$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $40 x - 26 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$40 x - 26 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $26$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$40 x = 26$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $40 x = 26$ durch $40$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $40 x = 26$ durch $40$ .

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $40$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{40 x}{40} = \frac{26}{40}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{26}{40}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $26$ und $40$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $26$ heraus.

$x = \frac{2 (13)}{40}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $40$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 13}{2 \cdot 20}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{13}{20}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $(4 x - 6) (5 x + 1)$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{13}{20}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{13}{20}$ .

$(4 (\frac{13}{20}) - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.1.2.1.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$(4 \frac{13}{4 (5)} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(4 \frac{13}{4 \cdot 5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$(\frac{13}{5} - 6) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} - 6 \cdot \frac{5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{5}{5}$ .

$(\frac{13}{5} + \frac{- 6 \cdot 5}{5}) (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{13 - 6 \cdot 5}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$\frac{13 - 30}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $30$ von $13$ .

$\frac{- 17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{17}{5} (5 (\frac{13}{20}) + 1)$

Schritt 4.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 (4)} + 1)$

Schritt 4.1.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{17}{5} (5 \frac{13}{5 \cdot 4} + 1)$

Schritt 4.1.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + 1)$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.8.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{17}{5} (\frac{13}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 4.1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{13 + 4}{4}$

Schritt 4.1.2.8.3

Addiere $13$ und $4$ .

$- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $- \frac{17}{5} \cdot \frac{17}{4}$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{17}{4}$ mit $\frac{17}{5}$ .

$- \frac{17 \cdot 17}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $17$ mit $17$ .

$- \frac{289}{4 \cdot 5}$

Schritt 4.1.2.9.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$- \frac{289}{20}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{13}{20}, - \frac{289}{20})$

Schritt 5