Analysis Beispiele

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Schritt 1.1.2.4.3

Stelle die Faktoren von $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ um.

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.4

Setze ${(x^{2} - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.1

Setze ${(x^{2} - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2

Löse ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.4.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 1) (x - 1)$ an.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.3

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.1

Setze ${(x + 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.3.2

Löse ${(x + 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.3.2.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.4.2.3.2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.4.2.4

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.1

Setze ${(x - 1)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Schritt 2.4.2.4.2

Löse ${(x - 1)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.4.2.4.2.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.4.2.4.2.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.4.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 1, 1$

Schritt 2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = 0, - 1, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte ${(x^{2} - 1)}^{3}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(0 - 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

${(- 1)}^{3}$

Schritt 4.1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- 1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(1 - 1)}^{3}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{3}$

Schritt 4.2.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

${(1 - 1)}^{3}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$0^{3}$

Schritt 4.3.2.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Schritt 5