Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{x^{2} - 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2} - 9}$ als ${(x^{2} - 9)}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 9)}^{- 1}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Schritt 1.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 1.1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 9$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Schritt 1.1.3.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x + 0)$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- {(x^{2} - 9)}^{- 2} (2 x)$

Schritt 1.1.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} - 9)}^{- 2} x$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.5.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}} x$

Schritt 1.1.5.3

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.5.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x = 0$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x = 0$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2 x}{{(x^{2} - 9)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x^{2} - 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

${(x^{2} - 3^{2})}^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

${((x + 3) (x - 3))}^{2} = 0$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Produktregel auf $(x + 3) (x - 3)$ an.

${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.3

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.1

Setze ${(x + 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.3.2

Löse ${(x + 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.3.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 3.2.3.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 3.2.4

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.1

Setze ${(x - 3)}^{2}$ gleich $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Schritt 3.2.4.2

Löse ${(x - 3)}^{2} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.4.2.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 3.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die ${(x + 3)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 3$

Schritt 4

Werte $\frac{1}{x^{2} - 9}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{1}{{(0)}^{2} - 9}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{0 - 9}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$\frac{1}{- 9}$

Schritt 4.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{9}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 3$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 3$ .

$\frac{1}{{(- 3)}^{2} - 9}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{1}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 3$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $3$ .

$\frac{1}{{(3)}^{2} - 9}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{9 - 9}$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{1}{0}$

Schritt 4.3.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, - \frac{1}{9})$

Schritt 5