Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 25}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} + 25$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25] - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 25$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$\frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [25]) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{x (2 x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.4

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.1.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25) \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 25)}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9

Vereinfache.

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Schritt 1.1.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.2.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 25}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.9.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 5^{2}}{x^{2}}$

Schritt 1.1.9.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$f' (x) = \frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 5, 5$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(x + 5) (x - 5)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2} + 25}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 5$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 5$ .

$\frac{{(- 5)}^{2} + 25}{- 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{25 + 25}{- 5}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $25$ und $25$ .

$\frac{50}{- 5}$

Schritt 4.1.2.2

Dividiere $50$ durch $- 5$ .

$- 10$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} + 25}{5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{25 + 25}{5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Addiere $25$ und $25$ .

$\frac{50}{5}$

Schritt 4.2.2.2

Dividiere $50$ durch $5$ .

$10$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$\frac{{(0)}^{2} + 25}{0}$

Schritt 4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(- 5, - 10), (5, 10)$

Schritt 5