Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 9}{x - 5}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{2} - 9$ und $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9] - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9]) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x + 0) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{(x - 5) (2 x) - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) x - (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 (x - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - (x^{2} - 9)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.4.1.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.4.1.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 5 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} - - 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{2 x^{2} - 10 x - x^{2} + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4.2

Subtrahiere $x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Faktorisiere $x^{2} - 10 x + 9$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.1.3.5.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 1.1.3.5.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$f' (x) = \frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$(x - 9) (x - 1) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.2

Setze $x - 9$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.2.1

Setze $x - 9$ gleich $0$ .

$x - 9 = 0$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 9$

Schritt 2.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 2.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 9) (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 9, 1$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 3.2.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 4

Werte $\frac{x^{2} - 9}{x - 5}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 9$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $9$ .

$\frac{{(9)}^{2} - 9}{(9) - 5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\frac{81 - 9}{9 - 5}$

Schritt 4.1.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $81$ .

$\frac{72}{9 - 5}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $9$ .

$\frac{72}{4}$

Schritt 4.1.2.2.2

Dividiere $72$ durch $4$ .

$18$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 1$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $1$ .

$\frac{{(1)}^{2} - 9}{(1) - 5}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - 9}{1 - 5}$

Schritt 4.2.2.1.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{- 8}{1 - 5}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$\frac{- 8}{- 4}$

Schritt 4.2.2.2.2

Dividiere $- 8$ durch $- 4$ .

$2$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 5$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{(5) - 5}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{{(5)}^{2} - 9}{0}$

Schritt 4.3.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(9, 18), (1, 2)$

Schritt 5