Analysis Beispiele

$f (x) = | 25 x^{2} - 4 |$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = 25 x^{2} - 4$ .

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Schritt 1.1.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.1.3

Ersetze alle $u$ durch $25 x^{2} - 4$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} \frac{d}{d x} [25 x^{2} - 4]$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $25 x^{2} - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (\frac{d}{d x} [25 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.2

Da $25$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $25 x^{2}$ nach $x$ gleich $25 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (25 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $25$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

Schritt 1.1.2.5

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x + 0)$

Schritt 1.1.2.6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.2.6.1

Addiere $50 x$ und $0$ .

$\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |} (50 x)$

Schritt 1.1.2.6.2

Kombiniere $50$ und $\frac{25 x^{2} - 4}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |} x$

Schritt 1.1.2.6.3

Kombiniere $\frac{50 (25 x^{2} - 4)}{| 25 x^{2} - 4 |}$ und $x$ .

$\frac{50 (25 x^{2} - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(50 (25 x^{2}) + 50 \cdot - 4) x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{50 (25 x^{2}) x + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{50 (25 (x \cdot x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{50 (25 (x^{1} x^{2})) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{50 (25 x^{1 + 2}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.1.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{50 (25 x^{3}) + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.2

Mutltipliziere $25$ mit $50$ .

$\frac{1250 x^{3} + 50 \cdot - 4 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.1.3.3.3

Mutltipliziere $50$ mit $- 4$ .

$f' (x) = \frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$1250 x^{3} - 200 x = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $50 x$ aus $1250 x^{3} - 200 x$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1.1

Faktorisiere $50 x$ aus $1250 x^{3}$ heraus.

$50 x (25 x^{2}) - 200 x = 0$

Schritt 2.3.1.1.2

Faktorisiere $50 x$ aus $- 200 x$ heraus.

$50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4) = 0$

Schritt 2.3.1.1.3

Faktorisiere $50 x$ aus $50 x (25 x^{2}) + 50 x (- 4)$ heraus.

$50 x (25 x^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe $25 x^{2}$ als ${(5 x)}^{2}$ um.

$50 x ({(5 x)}^{2} - 4) = 0$

Schritt 2.3.1.3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$50 x ({(5 x)}^{2} - 2^{2}) = 0$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.1.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 5 x$ und $b = 2$ .

$50 x ((5 x + 2) (5 x - 2)) = 0$

Schritt 2.3.1.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$

Schritt 2.3.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x + 2 = 0$

$5 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.3

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.1

Setze $5 x + 2$ gleich $0$ .

$5 x + 2 = 0$

Schritt 2.3.4.2

Löse $5 x + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 2.3.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 2.3.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.5

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze $5 x - 2$ gleich $0$ .

$5 x - 2 = 0$

Schritt 2.3.5.2

Löse $5 x - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.5.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = 2$

Schritt 2.3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $50 x (5 x + 2) (5 x - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{2}{5}, \frac{2}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{1250 x^{3} - 200 x}{| 25 x^{2} - 4 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 25 x^{2} - 4 | = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$25 x^{2} - 4 = \pm 0$

Schritt 3.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$25 x^{2} - 4 = 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$25 x^{2} = 4$

Schritt 3.2.4

Teile jeden Ausdruck in $25 x^{2} = 4$ durch $25$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $25 x^{2} = 4$ durch $25$ .

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Schritt 3.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 x^{2}}{25} = \frac{4}{25}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{25}$

Schritt 3.2.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{25}}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{4}{25}}$ .

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Schritt 3.2.6.1

Schreibe $\sqrt{\frac{4}{25}}$ als $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{25}}$

Schritt 3.2.6.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{25}}$

Schritt 3.2.6.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{25}}$

Schritt 3.2.6.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.6.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{5^{2}}}$

Schritt 3.2.6.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{2}{5}$

Schritt 3.2.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.2.7.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 3.2.7.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 3.2.7.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{2}{5}, - \frac{2}{5}$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - \frac{2}{5}, x = \frac{2}{5}$

Schritt 4

Werte $| 25 x^{2} - 4 |$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$| 25 {(0)}^{2} - 4 |$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| 25 \cdot 0 - 4 |$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $25$ mit $0$ .

$| 0 - 4 |$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$| - 4 |$

Schritt 4.1.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 4$ und $0$ ist $4$ .

$4$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{2}{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{2}{5}$ .

$| 25 {(- \frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{2}{5}$ an.

$| 25 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{5})}^{2}) - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$| 25 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| 25 (1 \frac{2^{2}}{5^{2}}) - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{2^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.5

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 4.2.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Schritt 4.2.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$| 4 - 4 |$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$| 0 |$

Schritt 4.2.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = \frac{2}{5}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2}{5}$ .

$| 25 {(\frac{2}{5})}^{2} - 4 |$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$| 25 \frac{2^{2}}{5^{2}} - 4 |$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| 25 \frac{4}{5^{2}} - 4 |$

Schritt 4.3.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $25$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 25 (\frac{4}{25}) - 4 |$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| 4 - 4 |$

Schritt 4.3.2.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$| 0 |$

Schritt 4.3.2.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$0$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 4), (- \frac{2}{5}, 0), (\frac{2}{5}, 0)$

Schritt 5