Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{- 4 x}{x + 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d}{d x} [- \frac{4 x}{x + 9}]$

Schritt 1.1.1.2

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4 x}{x + 9}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 9}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + 9$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Differenziere.

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \frac{(x + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $x + 9$ mit $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \frac{d}{d x} [x + 9]}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 9$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + \frac{d}{d x} [9])}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x (1 + 0)}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.3.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x \cdot 1}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 4 \frac{x + 9 - x}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$- 4 \frac{0 + 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.4

Addiere $0$ und $9$ .

$- 4 \frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.5

Kombiniere $- 4$ und $\frac{9}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 \cdot 9}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.3.6.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $9$ .

$\frac{- 36}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{36}{{(x + 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$36 = 0$

Schritt 2.3

Da $36 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{36}{{(x + 9)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x + 9)}^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Setze $x + 9$ gleich $0$ .

$x + 9 = 0$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 9$

Schritt 4

Werte $\frac{- 4 x}{x + 9}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 9$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 9$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{(- 9) + 9}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Addiere $- 9$ und $9$ .

$\frac{- 4 \cdot - 9}{0}$

Schritt 4.1.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Keine kritischen Punkte gefunden