Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 x - 5}$ als ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x + 3}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2 x + 3$ und $g (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{{(4 x - 5)}^{1}}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 x + 3] - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5

Differenziere.

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Schritt 1.1.5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + \frac{d}{d x} [3]) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (2 + 0) - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.5.6.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.5.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{d}{d x} [{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}]}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 4 x - 5$ .

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Schritt 1.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $4 x - 5$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.11

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.11.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.11.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{{(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.11.3

Bringe ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5])}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.12

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.13

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.15

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5]))}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.16

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} (4 + 0))}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.17

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1.17.1

Addiere $4$ und $0$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) (\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 4)}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.17.2

Kombiniere $\frac{1}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ und $4$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{4}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.17.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.18.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2 \cdot 2}{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} - (2 x + 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19

Vereinfache.

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Schritt 1.1.19.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.19.2.1

Füge Klammern hinzu.

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} + (- 1 \cdot (2 x) - 1 \cdot 3) \frac{2}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.2

Es sei $u_{2} = {(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ . Ersetze $u_{2}$ für alle ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1.19.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u_{2} \cdot u_{2} + 2 (- 2 x - 3)$ heraus.

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Schritt 1.1.19.2.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 u_{2} \cdot u_{2}$ heraus.

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.2.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (u_{2} \cdot u_{2}) + 2 (- 2 x - 3)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (u_{2} \cdot u_{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $u_{2}$ .

$\frac{\frac{2 ({u_{2}}^{2} - 2 x - 3)}{u_{2}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 ({({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.19.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.19.2.4.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 1.1.19.2.4.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.19.2.4.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{2 ({(4 x - 5)}^{1} - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.1.2

Vereinfache.

$\frac{\frac{2 (4 x - 5 - 2 x - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $4 x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 5 - 3)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.3

Subtrahiere $3$ von $- 5$ .

$\frac{\frac{2 (2 x - 8)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x) + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\frac{4 x + 2 \cdot - 8}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$\frac{\frac{4 x - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.5

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 16$ heraus.

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Schritt 1.1.19.2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{\frac{4 (x) - 16}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.5.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{\frac{4 x + 4 \cdot - 4}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.2.5.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x + 4 \cdot - 4$ heraus.

$\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.3

Vereine die Terme

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Schritt 1.1.19.3.1

Schreibe $\frac{\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}}{4 x - 5}$ als ein Produkt um.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{4 x - 5}$

Schritt 1.1.19.3.2

Mutltipliziere $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ mit $\frac{1}{4 x - 5}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} (4 x - 5)}$

Schritt 1.1.19.3.3

Multipliziere ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit $4 x - 5$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.19.3.3.1

Mutltipliziere ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ mit $4 x - 5$ .

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Schritt 1.1.19.3.3.1.1

Potenziere $4 x - 5$ mit $1$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2}} {(4 x - 5)}^{1}}$

Schritt 1.1.19.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Schritt 1.1.19.3.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.19.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Schritt 1.1.19.3.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$f' (x) = \frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{4 (x - 4)}{{(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$4 (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 4) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (x - 4) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (x - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.2.1.2

Dividiere $x - 4$ durch $1$ .

$x - 4 = \frac{0}{4}$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{4 (x - 4)}{\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ als ${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 x - 5)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 x - 5)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 x - 5)}^{3} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

${(4 x - 5)}^{3} = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Setze $4 x - 5$ gleich $0$ .

$4 x - 5 = 0$

Schritt 3.3.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 5$

Schritt 3.3.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{5}{4}$

Schritt 3.3.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{{(4 x - 5)}^{3}}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(4 x - 5)}^{3} < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Ungleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die Gleichung.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.5.2.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$4 x - 5 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$4 x - 5 < 0$

Schritt 3.5.3

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 5$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 5$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{5}{4}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{5}{4}$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

$x \leq \frac{5}{4}$

$(- \infty, \frac{5}{4}]$

Schritt 4

Werte $\frac{2 x + 3}{\sqrt{4 x - 5}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 4$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$\frac{2 (4) + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{8 + 3}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Addiere $8$ und $3$ .

$\frac{11}{\sqrt{4 (4) - 5}}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{11}{\sqrt{16 - 5}}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $5$ von $16$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}}$

Schritt 4.1.2.3

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{11}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} \sqrt{11}}$

Schritt 4.1.2.4.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1} {\sqrt{11}}^{1}}$

Schritt 4.1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 4.1.2.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{11 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11^{1}}$

Schritt 4.1.2.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 4.1.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $11$ .

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Schritt 4.1.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 4.1.2.5.2

Dividiere $\sqrt{11}$ durch $1$ .

$\sqrt{11}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{5}{4}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{5}{4}$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{4 (\frac{5}{4}) - 5}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{5 - 5}}$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{\sqrt{0^{2}}}$

Schritt 4.2.2.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Schritt 4.2.2.2.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2 (\frac{5}{4}) + 3}{0}$

Schritt 4.2.2.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(4, \sqrt{11})$

Schritt 5