Analysis Beispiele

$f (x) = 8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 336 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.2.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x^{3}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$f' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 336 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- 336 x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 336$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 336 x$ nach $x$ gleich $- 336 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.4.3

Mutltipliziere $- 336$ mit $1$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 + \frac{d}{d x} (1)$

Schritt 1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336 + 0$

Schritt 1.1.5.2

Addiere $24 x^{2} - 12 x - 336$ und $0$ .

$f' (x) = 24 x^{2} - 12 x - 336$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $24 x^{2} - 12 x - 336$ .

$24 x^{2} - 12 x - 336$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $24 x^{2} - 12 x - 336 = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$24 x^{2} - 12 x - 336 = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Faktorisiere $12$ aus $24 x^{2} - 12 x - 336$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1.1

Faktorisiere $12$ aus $24 x^{2}$ heraus.

$12 (2 x^{2}) - 12 x - 336 = 0$

Schritt 2.2.1.2

Faktorisiere $12$ aus $- 12 x$ heraus.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- x) - 336 = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere $12$ aus $- 336$ heraus.

$12 (2 x^{2}) + 12 (- x) + 12 (- 28) = 0$

Schritt 2.2.1.4

Faktorisiere $12$ aus $12 (2 x^{2}) + 12 (- x)$ heraus.

$12 (2 x^{2} - x) + 12 (- 28) = 0$

Schritt 2.2.1.5

Faktorisiere $12$ aus $12 (2 x^{2} - x) + 12 (- 28)$ heraus.

$12 (2 x^{2} - x - 28) = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 28 = - 56$ und deren Summe gleich $b = - 1$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$12 (2 x^{2} - (x) - 28) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.2

Schreibe $- 1$ um als $7$ plus $- 8$

$12 (2 x^{2} + (7 - 8) x - 28) = 0$

Schritt 2.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 (2 x^{2} + 7 x - 8 x - 28) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$12 ((2 x^{2} + 7 x) - 8 x - 28) = 0$

Schritt 2.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$12 (x (2 x + 7) - 4 (2 x + 7)) = 0$

Schritt 2.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x + 7$ .

$12 ((2 x + 7) (x - 4)) = 0$

Schritt 2.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$12 (2 x + 7) (x - 4) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 2.4

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.1

Setze $2 x + 7$ gleich $0$ .

$2 x + 7 = 0$

Schritt 2.4.2

Löse $2 x + 7 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.1

Subtrahiere $7$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 7$

Schritt 2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 7$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 7}{2}$

Schritt 2.4.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.4.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{7}{2}$

Schritt 2.5

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.5.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $12 (2 x + 7) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{7}{2}, 4$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $8 x^{3} - 6 x^{2} - 336 x + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Berechne bei $x = - \frac{7}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$8 {(- \frac{7}{2})}^{3} - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$8 ({(- 1)}^{3} {(\frac{7}{2})}^{3}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$8 ({(- 1)}^{3} \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$8 (- \frac{7^{3}}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $7$ mit $3$ .

$8 (- \frac{343}{2^{3}}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$8 (- \frac{343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{343}{8}$ in den Zähler.

$8 (\frac{- 343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 (\frac{- 343}{8}) - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$- 343 - 6 {(- \frac{7}{2})}^{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.6.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$- 343 - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$- 343 - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.7

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 343 - 6 (1 \frac{7^{2}}{2^{2}}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.8

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$- 343 - 6 \frac{7^{2}}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.9

Potenziere $7$ mit $2$ .

$- 343 - 6 \frac{49}{2^{2}} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 343 - 6 (\frac{49}{4}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$- 343 + 2 (- 3) \frac{49}{4} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$- 343 + 2 \cdot - 3 \frac{49}{2 \cdot 2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.11.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 343 + 2 \cdot - 3 \frac{49}{2 \cdot 2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.11.4

Forme den Ausdruck um.

$- 343 - 3 (\frac{49}{2}) - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.12

Kombiniere $- 3$ und $\frac{49}{2}$ .

$- 343 + \frac{- 3 \cdot 49}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $49$ .

$- 343 + \frac{- 147}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 343 - \frac{147}{2} - 336 (- \frac{7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.15

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.15.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7}{2}$ in den Zähler.

$- 343 - \frac{147}{2} - 336 (\frac{- 7}{2}) + 1$

Schritt 4.1.2.1.15.2

Faktorisiere $2$ aus $- 336$ heraus.

$- 343 - \frac{147}{2} + 2 (- 168) \frac{- 7}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.15.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 343 - \frac{147}{2} + 2 \cdot - 168 \frac{- 7}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.15.4

Forme den Ausdruck um.

$- 343 - \frac{147}{2} - 168 \cdot - 7 + 1$

Schritt 4.1.2.1.16

Mutltipliziere $- 168$ mit $- 7$ .

$- 343 - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.2.1

Schreibe $- 343$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 343}{1} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 343}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 343}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + 1176 + 1$

Schritt 4.1.2.2.4

Schreibe $1176$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176}{1} + 1$

Schritt 4.1.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1176}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176}{1} \cdot \frac{2}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{1176}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + 1$

Schritt 4.1.2.2.7

Schreibe $1$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.2.8

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.2.2.9

Mutltipliziere $\frac{1}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 343 \cdot 2}{2} - \frac{147}{2} + \frac{1176 \cdot 2}{2} + \frac{2}{2}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 343 \cdot 2 - 147 + 1176 \cdot 2 + 2}{2}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $- 343$ mit $2$ .

$\frac{- 686 - 147 + 1176 \cdot 2 + 2}{2}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $1176$ mit $2$ .

$\frac{- 686 - 147 + 2352 + 2}{2}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.5.1

Subtrahiere $147$ von $- 686$ .

$\frac{- 833 + 2352 + 2}{2}$

Schritt 4.1.2.5.2

Addiere $- 833$ und $2352$ .

$\frac{1519 + 2}{2}$

Schritt 4.1.2.5.3

Addiere $1519$ und $2$ .

$\frac{1521}{2}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $4$ .

$8 {(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$8 \cdot 64 - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $64$ .

$512 - 6 {(4)}^{2} - 336 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$512 - 6 \cdot 16 - 336 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $16$ .

$512 - 96 - 336 \cdot 4 + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Mutltipliziere $- 336$ mit $4$ .

$512 - 96 - 1344 + 1$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.2.1

Subtrahiere $96$ von $512$ .

$416 - 1344 + 1$

Schritt 4.2.2.2.2

Subtrahiere $1344$ von $416$ .

$- 928 + 1$

Schritt 4.2.2.2.3

Addiere $- 928$ und $1$ .

$- 927$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- \frac{7}{2}, \frac{1521}{2}), (4, - 927)$

Schritt 5