Analysis Beispiele

$f (x) = x - \frac{54}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{54}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{54}{x}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 54$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{54}{x}$ nach $x$ gleich $- 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 - 54 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - 54 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - 54 (- x^{- 2})$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 54$ .

$1 + 54 x^{- 2}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 54 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Kombiniere $54$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$1 + \frac{54}{x^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{54}{x^{2}} + 1$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{54}{x^{2}} + 1$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{54}{x^{2}} + 1 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{54}{x^{2}} = - 1$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{54}{x^{2}} = - 1$ mit $x^{2}$ .

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{54}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$54 = - x^{2}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- x^{2} = 54$ um.

$- x^{2} = 54$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 54$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = 54$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{54}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{54}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{54}{- 1}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividiere $54$ durch $- 1$ .

$x^{2} = - 54$

Schritt 2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 54}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 54}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $- 54$ als $- 1 (54)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (54)}$

Schritt 2.5.4.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (54)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{54}$

Schritt 2.5.4.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{54}$

Schritt 2.5.4.4

Schreibe $54$ als $3^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 2.5.4.4.1

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (6)}$

Schritt 2.5.4.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 6}$

Schritt 2.5.4.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{6})$

Schritt 2.5.4.6

Bringe $3$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 3 i \sqrt{6}$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 3 i \sqrt{6}$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 3 i \sqrt{6}$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 3 i \sqrt{6}, - 3 i \sqrt{6}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{54}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $x - \frac{54}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$(0) - \frac{54}{0}$

Schritt 4.1.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 5

Es gibt keine Werte von $x$ im Definitionsbereich, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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