Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{10 - x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 - x}$ als ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(10 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 10 - x$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $10 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $10 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x (\frac{1}{2} {(10 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(10 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(10 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(10 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 - x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [10 - x] + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.10

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $\frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.14.3.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{- x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.14.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.16

Mutltipliziere ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$- \frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.17

Um ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.18

Kombiniere ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(10 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.19

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20

Multipliziere ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.20.1

Bewege ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} {(10 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{- x + {(10 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x + {(10 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{- x + {(10 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.20.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{- x + {(10 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.21

Vereinfache ${(10 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (10 - x) \cdot 2}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.22

Bringe $2$ auf die linke Seite von $10 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (10 - x)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23

Vereinfache.

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Schritt 1.1.23.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- x + 2 \cdot 10 + 2 (- x)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.23.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.23.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $10$ .

$\frac{- x + 20 + 2 (- x)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- x + 20 - 2 x}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.2.2

Subtrahiere $2 x$ von $- x$ .

$\frac{- 3 x + 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{- (3 x) + 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.4

Schreibe $20$ als $- 1 (- 20)$ um.

$\frac{- (3 x) - 1 (- 20)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - 1 (- 20)$ heraus.

$\frac{- (3 x - 20)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.6

Schreibe $- (3 x - 20)$ als $- 1 (3 x - 20)$ um.

$\frac{- 1 (3 x - 20)}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.23.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{3 x - 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{3 x - 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{3 x - 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{3 x - 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{3 x - 20}{2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$3 x - 20 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Addiere $20$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 20$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 20$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 20$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{20}{3}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{20}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- \frac{3 x - 20}{2 \sqrt{{(10 - x)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- \frac{3 x - 20}{2 \sqrt{10 - x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{3 x - 20}{2 \sqrt{10 - x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 \sqrt{10 - x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(2 \sqrt{10 - x})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{10 - x}$ als ${(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $2 {(10 - x)}^{\frac{1}{2}}$ an.

$2^{2} {({(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$4 {({(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${({(10 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(10 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(10 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$4 {(10 - x)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$4 (10 - x) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$4 \cdot 10 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6

Multipliziere.

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Schritt 3.3.2.2.1.6.1

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$40 + 4 (- x) = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$40 - 4 x = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$40 - 4 x = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $40$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 4 x = - 40$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 40$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x = - 40$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 3.3.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 40}{- 4}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 40$ durch $- 4$ .

$x = 10$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{10 - x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$10 - x < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x < - 10$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x < - 10$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x < - 10$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 10}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 10$ durch $- 1$ .

$x > 10$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \geq 10$

$[10, \infty)$

$x \geq 10$

$[10, \infty)$

Schritt 4

Werte $x \sqrt{10 - x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{20}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{20}{3}$ .

$(\frac{20}{3}) \sqrt{10 - (\frac{20}{3})}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Um $10$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \sqrt{10 \cdot \frac{3}{3} - \frac{20}{3}}$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere $10$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} \sqrt{\frac{10 \cdot 3}{3} - \frac{20}{3}}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{20}{3} \sqrt{\frac{10 \cdot 3 - 20}{3}}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{20}{3} \sqrt{\frac{30 - 20}{3}}$

Schritt 4.1.2.4.2

Subtrahiere $20$ von $30$ .

$\frac{20}{3} \sqrt{\frac{10}{3}}$

Schritt 4.1.2.5

Schreibe $\sqrt{\frac{10}{3}}$ als $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ um.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.6

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{3} (\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})$

Schritt 4.1.2.7

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.1.2.7.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.7.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 4.1.2.7.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 4.1.2.7.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.1.2.7.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 4.1.2.7.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.1.2.7.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.1.2.7.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.7.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.7.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.1.2.7.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 4.1.2.7.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 4.1.2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.8.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{10 \cdot 3}}{3}$

Schritt 4.1.2.8.2

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{30}}{3}$

Schritt 4.1.2.9

Multipliziere $\frac{20}{3} \cdot \frac{\sqrt{30}}{3}$ .

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Schritt 4.1.2.9.1

Mutltipliziere $\frac{20}{3}$ mit $\frac{\sqrt{30}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{30}}{3 \cdot 3}$

Schritt 4.1.2.9.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{20 \sqrt{30}}{9}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 10$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $10$ .

$(10) \sqrt{10 - (10)}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$10 \sqrt{10 - 10}$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$10 \sqrt{0}$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$10 \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.2.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$10 \cdot 0$

Schritt 4.2.2.5

Mutltipliziere $10$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{20}{3}, \frac{20 \sqrt{30}}{9}), (10, 0)$

Schritt 5