Analysis Beispiele

$f (x) = x \sqrt{30 - x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30 - x^{2}}$ als ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 30 - x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $30 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.3.3

Ersetze alle $u$ durch $30 - x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.3

Bringe ${(30 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.8.4

Kombiniere $\frac{1}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (30 - x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.9

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $30 - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [30] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (30) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.10

Da $30$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $30$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.11

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.13

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1.14.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.14.3

Kombiniere $\frac{- 2 x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.15

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.16

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.18

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.20.3

Forme den Ausdruck um.

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Schritt 1.1.22

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Schritt 1.1.23

Mutltipliziere ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1.1.24

Um ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.25

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26

Multipliziere ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.26.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(30 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.26.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.27

Vereinfache ${(30 - x^{2})}^{1}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 30 - x^{2}}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.28

Subtrahiere $x^{2}$ von $- x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(30 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.1.29

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{{(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$- 2 x^{2} + 30 = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{2} = - 30$

Schritt 2.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 30$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x^{2} = - 30$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 2.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 30}{- 2}$

Schritt 2.3.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 30}{- 2}$

Schritt 2.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.1

Dividiere $- 30$ durch $- 2$ .

$x^{2} = 15$

Schritt 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{15}$

Schritt 2.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{15}$

Schritt 2.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{15}$

Schritt 2.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{15}, - \sqrt{15}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{{(- x^{2} + 30)}^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{- 2 x^{2} + 30}{\sqrt{- x^{2} + 30}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\sqrt{- x^{2} + 30} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{- x^{2} + 30}}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 30}$ als ${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(- x^{2} + 30)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(- x^{2} + 30)}^{1} = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Vereinfache.

$- x^{2} + 30 = 0^{2}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$- x^{2} + 30 = 0$

Schritt 3.3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.3.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} = - 30$

Schritt 3.3.3.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 30$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} = - 30$ durch $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.2.3.1

Dividiere $- 30$ durch $- 1$ .

$x^{2} = 30$

Schritt 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{30}$

Schritt 3.3.3.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.3.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{30}$

Schritt 3.3.3.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{30}$

Schritt 3.3.3.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{30}, - \sqrt{30}$

Schritt 3.4

Setze den Radikanden in $\sqrt{- x^{2} + 30}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- x^{2} + 30 < 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $30$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- x^{2} < - 30$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- x^{2} < - 30$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Term in $- x^{2} < - 30$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.5.2.2.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} > \frac{- 30}{- 1}$

Schritt 3.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.3.1

Dividiere $- 30$ durch $- 1$ .

$x^{2} > 30$

Schritt 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{30}$

Schritt 3.5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.4.1

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| x | > \sqrt{30}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $| x | > \sqrt{30}$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 3.5.5.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$x \geq 0$

Schritt 3.5.5.2

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $x$ nicht negativ ist.

$x > \sqrt{30}$

Schritt 3.5.5.3

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$x < 0$

Schritt 3.5.5.4

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $x$ negativ ist.

$- x > \sqrt{30}$

Schritt 3.5.5.5

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} x > \sqrt{30} & x \geq 0 \\ - x > \sqrt{30} & x < 0 \end{cases}$

Schritt 3.5.6

Bestimme die Schnittmenge von $x > \sqrt{30}$ und $x \geq 0$ .

$x > \sqrt{30}$

Schritt 3.5.7

Teile jeden Ausdruck in $- x > \sqrt{30}$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.7.1

Teile jeden Term in $- x > \sqrt{30}$ durch $- 1$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Schritt 3.5.7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{\sqrt{30}}{- 1}$

Schritt 3.5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.7.3.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\sqrt{30}}{- 1}$ .

$x < - 1 \cdot \sqrt{30}$

Schritt 3.5.7.3.2

Schreibe $- 1 \cdot \sqrt{30}$ als $- \sqrt{30}$ um.

$x < - \sqrt{30}$

Schritt 3.5.8

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$x < - \sqrt{30}$ oder $x > \sqrt{30}$

Schritt 3.6

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

$x \leq - \sqrt{30}, x \geq \sqrt{30}$

$(- \infty, - \sqrt{30}] \cup [\sqrt{30}, \infty)$

Schritt 4

Werte $x \sqrt{30 - x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \sqrt{15}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{15}$ .

$(\sqrt{15}) \sqrt{30 - {(\sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{15 (30 - {(\sqrt{15})}^{2})}$

Schritt 4.1.2.2

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.1.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{15 (30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.1.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.1.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.1.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{15 (30 - 15^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.1.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{15 (30 - 15^{1})}$

Schritt 4.1.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{15 (30 - 1 \cdot 15)}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$\sqrt{15 (30 - 15)}$

Schritt 4.1.2.3.2

Subtrahiere $15$ von $30$ .

$\sqrt{15 \cdot 15}$

Schritt 4.1.2.3.3

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$\sqrt{225}$

Schritt 4.1.2.3.4

Schreibe $225$ als $15^{2}$ um.

$\sqrt{15^{2}}$

Schritt 4.1.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$15$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \sqrt{15}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{15}$ .

$(- \sqrt{15}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{15})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{15}$ an.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{15}}^{2})}$

Schritt 4.2.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 4.2.2.4

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.2.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.2.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.2.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.2.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15^{1}}$

Schritt 4.2.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 1 \cdot 15}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{30 - 15}$

Schritt 4.2.2.5.2

Subtrahiere $15$ von $30$ .

$- \sqrt{15} \sqrt{15}$

Schritt 4.2.2.6

Multipliziere $- \sqrt{15} \sqrt{15}$ .

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Schritt 4.2.2.6.1

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$- ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})$

Schritt 4.2.2.6.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$- ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})$

Schritt 4.2.2.6.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- {\sqrt{15}}^{1 + 1}$

Schritt 4.2.2.6.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- {\sqrt{15}}^{2}$

Schritt 4.2.2.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.2.2.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.2.2.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.2.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- 15^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.2.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 15^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.2.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- 15^{1}$

Schritt 4.2.2.7.5

Berechne den Exponenten.

$- 1 \cdot 15$

Schritt 4.2.2.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$- 15$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - \sqrt{30}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{30}$ .

$(- \sqrt{30}) \sqrt{30 - {(- \sqrt{30})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{30}$ an.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{30}}^{2})}$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.2.1

Bewege ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 {\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{2}$ mit $- 1$ .

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} {\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {\sqrt{30}}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.3.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.3.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.3.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30^{1}}$

Schritt 4.3.2.4.5

Berechne den Exponenten.

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 1 \cdot 30}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{30 - 30}$

Schritt 4.3.2.5.2

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$- \sqrt{30} \sqrt{0}$

Schritt 4.3.2.5.3

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$- \sqrt{30} \sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.3.2.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \sqrt{30} \cdot 0$

Schritt 4.3.2.6

Multipliziere $- \sqrt{30} \cdot 0$ .

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Schritt 4.3.2.6.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 \sqrt{30}$

Schritt 4.3.2.6.2

Mutltipliziere $0$ mit $\sqrt{30}$ .

$0$

Schritt 4.4

Berechne bei $x = \sqrt{30}$ .

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Schritt 4.4.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{30}$ .

$(\sqrt{30}) \sqrt{30 - {(\sqrt{30})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.4.2.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{30 (30 - {(\sqrt{30})}^{2})}$

Schritt 4.4.2.2

Schreibe ${\sqrt{30}}^{2}$ als $30$ um.

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Schritt 4.4.2.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{30}$ als $30^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{30 (30 - {(30^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Schritt 4.4.2.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Schritt 4.4.2.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.2.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{30 (30 - 30^{\frac{2}{2}})}$

Schritt 4.4.2.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{30 (30 - 30^{1})}$

Schritt 4.4.2.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{30 (30 - 1 \cdot 30)}$

Schritt 4.4.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $30$ .

$\sqrt{30 (30 - 30)}$

Schritt 4.4.2.3.2

Subtrahiere $30$ von $30$ .

$\sqrt{30 \cdot 0}$

Schritt 4.4.2.3.3

Mutltipliziere $30$ mit $0$ .

$\sqrt{0}$

Schritt 4.4.2.3.4

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$\sqrt{0^{2}}$

Schritt 4.4.2.3.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$0$

Schritt 4.5

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{15}, 15), (- \sqrt{15}, - 15), (- \sqrt{30}, 0), (\sqrt{30}, 0)$

Schritt 5