Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{\frac{2}{3}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{\frac{2}{3}}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{2}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Schritt 1.1.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 1.1.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 1.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Schritt 1.1.6.2

Subtrahiere $3$ von $2$ .

$5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Schritt 1.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Schritt 1.1.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$5 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.9

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Schritt 1.1.10

Multipliziere.

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Schritt 1.1.10.1

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Schritt 1.1.10.2

Bringe $x^{- \frac{1}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$10 = 0$

Schritt 2.3

Da $10 \neq 0$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Schritt 3.2

Setze den Nenner in $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Schritt 3.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.2.1

Vereinfache ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $3 x^{\frac{1}{3}}$ an.

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.2.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.2.1.4

Vereinfache.

$27 x = 0^{3}$

Schritt 3.3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$27 x = 0$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $27 x = 0$ durch $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $27$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $27$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $5 x^{\frac{2}{3}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Schritt 4.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \cdot 0^{2}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.2.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(0, 0)$

Schritt 5