Analysis Beispiele

$f (x) = - 5 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$- 10 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 10 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 10 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 10 x + 4 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $- 10 x + 4$ und $0$ .

$f' (x) = - 10 x + 4$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 10 x + 4$ .

$- 10 x + 4$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 10 x + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 10 x + 4 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 10 x = - 4$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = - 4$ durch $- 10$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 10 x = - 4$ durch $- 10$ .

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 10$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 10 x}{- 10} = \frac{- 4}{- 10}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 10}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $- 10$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 4$ heraus.

$x = \frac{- 2 (2)}{- 10}$

Schritt 2.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 10$ heraus.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 2 \cdot 2}{- 2 \cdot 5}$

Schritt 2.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $- 5 x^{2} + 4 x - 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{2}{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{2}{5}$ .

$- 5 {(\frac{2}{5})}^{2} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{5}$ an.

$- 5 \frac{2^{2}}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- 5 \frac{4}{5^{2}} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$- 5 (\frac{4}{25}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$5 (- 1) \frac{4}{25} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \cdot - 1 \frac{4}{5 \cdot 5} + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.5

Schreibe $- 1 (\frac{4}{5})$ als $- (\frac{4}{5})$ um.

$- (\frac{4}{5}) + 4 (\frac{2}{5}) - 1$

Schritt 4.1.2.1.6

Multipliziere $4 (\frac{2}{5})$ .

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{4}{5} + \frac{4 \cdot 2}{5} - 1$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$- \frac{4}{5} + \frac{8}{5} - 1$

Schritt 4.1.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1 + \frac{- 4 + 8}{5}$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $- 4$ und $8$ .

$- 1 + \frac{4}{5}$

Schritt 4.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$- 1 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 4.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{- 1 \cdot 5}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 \cdot 5 + 4}{5}$

Schritt 4.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{- 5 + 4}{5}$

Schritt 4.1.2.6.2

Addiere $- 5$ und $4$ .

$\frac{- 1}{5}$

Schritt 4.1.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{5}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{2}{5}, - \frac{1}{5})$

Schritt 5