Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$20 x^{3} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 6$ .

$20 x^{3} - 12 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{3} - 12 x + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $20 x^{3} - 12 x$ und $0$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 12 x$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} - 12 x$ .

$20 x^{3} - 12 x$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} - 12 x = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} - 12 x = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x^{3} - 12 x$ heraus.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere $4 x$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$4 x (5 x^{2}) - 12 x = 0$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $4 x$ aus $- 12 x$ heraus.

$4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3) = 0$

Schritt 2.2.3

Faktorisiere $4 x$ aus $4 x (5 x^{2}) + 4 x (- 3)$ heraus.

$4 x (5 x^{2} - 3) = 0$

Schritt 2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$5 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 2.5

Setze $5 x^{2} - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $5 x^{2} - 3$ gleich $0$ .

$5 x^{2} - 3 = 0$

Schritt 2.5.2

Löse $5 x^{2} - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{2} = 3$

Schritt 2.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 3$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{2} = 3$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{2}}{5} = \frac{3}{5}$

Schritt 2.5.2.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{5}$

Schritt 2.5.2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{3}{5}}$

Schritt 2.5.2.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{3}{5}}$ .

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Schritt 2.5.2.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{3}{5}}$ als $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.2.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.3.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Schritt 2.5.2.4.3.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.2.4.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.5.2.4.3.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.2.4.3.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Schritt 2.5.2.4.3.6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \pm \frac{\sqrt{3} \sqrt{5}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.2.4.4.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \pm \frac{\sqrt{3 \cdot 5}}{5}$

Schritt 2.5.2.4.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.5.2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 2.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $4 x (5 x^{2} - 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{\sqrt{15}}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $5 x^{4} - 6 x^{2} + 1$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$5 {(0)}^{4} - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$5 \cdot 0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 1$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 6$ mit $0$ .

$0 + 0 + 1$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$0 + 1$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{4} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$5 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt{15}}^{4}$ als $15^{2}$ um.

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Schritt 4.2.2.1.2.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{4}{2}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{15^{\frac{2}{1}}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$5 \frac{15^{2}}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.2.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$5 \frac{225}{5^{4}} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$5 (\frac{225}{625}) - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$5 \frac{225}{5 (125)} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{225}{5 \cdot 125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{225}{125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $225$ und $125$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $225$ heraus.

$\frac{25 (9)}{125} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.5.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.2.2.1.6

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.2.2.1.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{1}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.7.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.2.2.1.8

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{15}{25}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $25$ .

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Schritt 4.2.2.1.9.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 (3)}{25} + 1$

Schritt 4.2.2.1.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.2.1.9.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Schritt 4.2.2.1.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Schritt 4.2.2.1.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{3}{5}) + 1$

Schritt 4.2.2.1.10

Multipliziere $- 6 (\frac{3}{5})$ .

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Schritt 4.2.2.1.10.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 6 \cdot 3}{5} + 1$

Schritt 4.2.2.1.10.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 18}{5} + 1$

Schritt 4.2.2.1.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + 1$

Schritt 4.2.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.2.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{9 - 18}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$1 + \frac{- 9}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{9}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 9}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2.5

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$\frac{- 4}{5}$

Schritt 4.2.2.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5}$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = - \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$5 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{4} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$5 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{4}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$5 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $4$ .

$5 (1 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}}$ mit $1$ .

$5 \frac{{\sqrt{15}}^{4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Schreibe ${\sqrt{15}}^{4}$ als $15^{2}$ um.

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Schritt 4.3.2.1.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$5 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$5 \frac{15^{\frac{4}{2}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{15^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{15^{\frac{2}{1}}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.1.4.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$5 \frac{15^{2}}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Potenziere $15$ mit $2$ .

$5 \frac{225}{5^{4}} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.5

Potenziere $5$ mit $4$ .

$5 (\frac{225}{625}) - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$5 \frac{225}{5 (125)} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{225}{5 \cdot 125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{225}{125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $225$ und $125$ .

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Schritt 4.3.2.1.7.1

Faktorisiere $25$ aus $225$ heraus.

$\frac{25 (9)}{125} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.7.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 \cdot 9}{25 \cdot 5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 {(- \frac{\sqrt{15}}{5})}^{2} + 1$

Schritt 4.3.2.1.8

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 4.3.2.1.8.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$\frac{9}{5} - 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{15}}{5})}^{2}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.8.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{15}}{5}$ an.

$\frac{9}{5} - 6 ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.9

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (1 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.10

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{\sqrt{15}}^{2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 4.3.2.1.11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.1.11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15^{1}}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.11.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{15}{5^{2}} + 1$

Schritt 4.3.2.1.12

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{15}{25}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $15$ und $25$ .

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Schritt 4.3.2.1.13.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 (3)}{25} + 1$

Schritt 4.3.2.1.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.3.2.1.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Schritt 4.3.2.1.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9}{5} - 6 \frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 5} + 1$

Schritt 4.3.2.1.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9}{5} - 6 (\frac{3}{5}) + 1$

Schritt 4.3.2.1.14

Multipliziere $- 6 (\frac{3}{5})$ .

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Schritt 4.3.2.1.14.1

Kombiniere $- 6$ und $\frac{3}{5}$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 6 \cdot 3}{5} + 1$

Schritt 4.3.2.1.14.2

Mutltipliziere $- 6$ mit $3$ .

$\frac{9}{5} + \frac{- 18}{5} + 1$

Schritt 4.3.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{9}{5} - \frac{18}{5} + 1$

Schritt 4.3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1 + \frac{9 - 18}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.2.2.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$1 + \frac{- 9}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1 - \frac{9}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5}{5} - \frac{9}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 9}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.5

Subtrahiere $9$ von $5$ .

$\frac{- 4}{5}$

Schritt 4.3.2.2.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{4}{5}$

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(0, 1), (\frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{4}{5}), (- \frac{\sqrt{15}}{5}, - \frac{4}{5})$

Schritt 5