Analysis Beispiele

$f (x) = 5 x^{4} - 16 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{4} - 16 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{4}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16 x]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 16 x$ nach $x$ gleich $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$20 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$20 x^{3} - 16 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $1$ .

$f' (x) = 20 x^{3} - 16$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $20 x^{3} - 16$ .

$20 x^{3} - 16$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $20 x^{3} - 16 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$20 x^{3} - 16 = 0$

Schritt 2.2

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} = 16$

Schritt 2.3

Subtrahiere $16$ von beiden Seiten der Gleichung.

$20 x^{3} - 16 = 0$

Schritt 2.4

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{3} - 16$ heraus.

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $20 x^{3}$ heraus.

$4 (5 x^{3}) - 16 = 0$

Schritt 2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$4 (5 x^{3}) + 4 (- 4) = 0$

Schritt 2.4.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (5 x^{3}) + 4 (- 4)$ heraus.

$4 (5 x^{3} - 4) = 0$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $4 (5 x^{3} - 4) = 0$ durch $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (5 x^{3} - 4)}{4} = \frac{0}{4}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $5 x^{3} - 4$ durch $1$ .

$5 x^{3} - 4 = \frac{0}{4}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $0$ durch $4$ .

$5 x^{3} - 4 = 0$

Schritt 2.6

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x^{3} = 4$

Schritt 2.7

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{3} = 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 2.7.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x^{3} = 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 2.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x^{3}}{5} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.7.2.1.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$x^{3} = \frac{4}{5}$

Schritt 2.8

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \sqrt[3]{\frac{4}{5}}$

Schritt 2.9

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ .

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Schritt 2.9.1

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ als $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$

Schritt 2.9.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.9.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{5}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{2}}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{\sqrt[3]{5} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 2.9.3.2

Potenziere $\sqrt[3]{5}$ mit $1$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1} {\sqrt[3]{5}}^{2}}$

Schritt 2.9.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{1 + 2}}$

Schritt 2.9.3.4

Addiere $1$ und $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{\sqrt[3]{5}}^{3}}$

Schritt 2.9.3.5

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{3}$ als $5$ um.

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Schritt 2.9.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{5}$ als $5^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{{(5^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 2.9.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 2.9.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.9.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.9.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 2.9.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5^{1}}$

Schritt 2.9.3.5.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{5}}^{2}}{5}$

Schritt 2.9.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.4.1

Schreibe ${\sqrt[3]{5}}^{2}$ als $\sqrt[3]{5^{2}}$ um.

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{5^{2}}}{5}$

Schritt 2.9.4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{4} \sqrt[3]{25}}{5}$

Schritt 2.9.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot 25}}{5}$

Schritt 2.9.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $25$ .

$x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $5 x^{4} - 16 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$5 {(\frac{\sqrt[3]{100}}{5})}^{4} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ an.

$5 \frac{{\sqrt[3]{100}}^{4}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.1.2.1

Schreibe ${\sqrt[3]{100}}^{4}$ als $\sqrt[3]{100^{4}}$ um.

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{4}}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Potenziere $100$ mit $4$ .

$5 \frac{\sqrt[3]{100000000}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.2.3

Schreibe $100000000$ als $100^{3} \cdot 100$ um.

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Schritt 4.1.2.1.2.3.1

Faktorisiere $1000000$ aus $100000000$ heraus.

$5 \frac{\sqrt[3]{1000000 (100)}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.2.3.2

Schreibe $1000000$ als $100^{3}$ um.

$5 \frac{\sqrt[3]{100^{3} \cdot 100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.2.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5^{4}} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $5$ mit $4$ .

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{625} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Faktorisiere $5$ aus $625$ heraus.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 (125)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{100 \sqrt[3]{100}}{5 \cdot 125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{100 \sqrt[3]{100}}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $100$ und $125$ .

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Schritt 4.1.2.1.5.1

Faktorisiere $25$ aus $100 \sqrt[3]{100}$ heraus.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{125} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $25$ aus $125$ heraus.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 (5)} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{25 (4 \sqrt[3]{100})}{25 \cdot 5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - 16 \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.6

Kombiniere $- 16$ und $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$ .

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} + \frac{- 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{4 \sqrt[3]{100}}{5} - \frac{16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{4 \sqrt[3]{100} - 16 \sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $16 \sqrt[3]{100}$ von $4 \sqrt[3]{100}$ .

$\frac{- 12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.1.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5}$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(\frac{\sqrt[3]{100}}{5}, - \frac{12 \sqrt[3]{100}}{5})$

Schritt 5