Analysis Beispiele

$f (x) = 4 x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$4 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$4 - x^{- 2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 4$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{1}{x^{2}} + 4$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 4 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 4$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{x^{2}} = - 4$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - 4 x^{2}$

Schritt 2.4.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = - 4 x^{2}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 4 x^{2} = - 1$ um.

$- 4 x^{2} = - 1$

Schritt 2.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 1$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x^{2} = - 1$ durch $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.5.2.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Schritt 2.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Schritt 2.5.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Schritt 2.5.4

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{4}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ um.

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.5.4.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.5.4.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.5.4.3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 2.5.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Werte $4 x + \frac{1}{x}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{1}{2}$ .

$4 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 + \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 + 1 \cdot 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + 2$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $2$ und $2$ .

$4$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \frac{1}{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$4 (\frac{- 1}{2}) + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 2 \frac{- 1}{2} + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot - 1 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 + \frac{1}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$- 2 + \frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Schritt 4.2.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 2 - (1 \cdot 2)$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere $- (1 \cdot 2)$ .

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 - 1 \cdot 2$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 2$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von $- 2$ .

$- 4$

Schritt 4.3

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$4 (0) + \frac{1}{0}$

Schritt 4.3.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.4

Liste all Punkte auf.

$(\frac{1}{2}, 4), (- \frac{1}{2}, - 4)$

Schritt 5