Analysis Beispiele

$y \cos (x) = 2 x^{2} + 4 y^{2}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y \cos (x)) = \frac{d}{d x} (2 x^{2} + 4 y^{2})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$y (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (- \sin (x)) + \cos (x) y'$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$- y \sin (x) + \cos (x) y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} + 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$4 x + 4 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$4 x + 4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 x + 4 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$4 x + 4 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$4 x + 4 (2 y y')$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$4 x + 8 y y'$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$8 y y' + 4 x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- y \sin (x) + \cos (x) y' = 8 y y' + 4 x$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Faktoren in $- y \sin (x) + \cos (x) y'$ um.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) = 8 y y' + 4 x$

Schritt 5.2

Subtrahiere $8 y y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \sin (x) + y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x$

Schritt 5.3

Addiere $y \sin (x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y' \cos (x) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Schritt 5.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x) - 8 y y'$ heraus.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $y'$ aus $y' \cos (x)$ heraus.

$y' (\cos (x)) - 8 y y' = 4 x + y \sin (x)$

Schritt 5.4.2

Faktorisiere $y'$ aus $- 8 y y'$ heraus.

$y' (\cos (x)) + y' (- 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Schritt 5.4.3

Faktorisiere $y'$ aus $y' (\cos (x)) + y' (- 8 y)$ heraus.

$y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$

Schritt 5.5

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ durch $\cos (x) - 8 y$ und vereinfache.

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Schritt 5.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (\cos (x) - 8 y) = 4 x + y \sin (x)$ durch $\cos (x) - 8 y$ .

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Schritt 5.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x) - 8 y$ .

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Schritt 5.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (\cos (x) - 8 y)}{\cos (x) - 8 y} = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Schritt 5.5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{4 x}{\cos (x) - 8 y} + \frac{y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Schritt 5.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.5.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x + y \sin (x)}{\cos (x) - 8 y}$