Analysis Beispiele

$f (x) = - 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x^{\frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{3}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.2.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- 4 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.7

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- 4 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.8

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 4 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.9

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{- 12 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.10

Faktorisiere $2$ aus $- 12 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.11.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 6 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.2.11.4

Dividiere $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + \frac{d}{d x} [13]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $13$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $13$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ und $0$ .

$f' (x) = - 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- 6 x^{\frac{1}{2}} + 24 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 6 x^{\frac{1}{2}} = - 24$

Schritt 2.3

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.1.1

Vereinfache ${(- 6 x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- 6 x^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 6)}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.1.1.2

Potenziere $- 6$ mit $2$ .

$36 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.1.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.4.1.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.1.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.4.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$36 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.1.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$36 x^{1} = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.1.1.4

Vereinfache.

$36 x = {(- 24)}^{2}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $- 24$ mit $2$ .

$36 x = 576$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 576$ durch $36$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $36 x = 576$ durch $36$ .

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $36$ .

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Schritt 2.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{36 x}{36} = \frac{576}{36}$

Schritt 2.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{576}{36}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Dividiere $576$ durch $36$ .

$x = 16$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

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Schritt 3.1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$- 6 \sqrt{x^{1}} + 24$

Schritt 3.1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$- 6 \sqrt{x} + 24$

Schritt 3.2

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ kleiner als $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x < 0$

Schritt 3.3

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

Schritt 4

Werte $- 4 x^{\frac{3}{2}} + 24 x + 13$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 16$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $16$ .

$- 4 {(16)}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$- 4 {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 4 \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 4 \cdot 4^{3} + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.4

Potenziere $4$ mit $3$ .

$- 4 \cdot 64 + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $64$ .

$- 256 + 24 (16) + 13$

Schritt 4.1.2.1.6

Mutltipliziere $24$ mit $16$ .

$- 256 + 384 + 13$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Addiere $- 256$ und $384$ .

$128 + 13$

Schritt 4.1.2.2.2

Addiere $128$ und $13$ .

$141$

Schritt 4.2

Liste all Punkte auf.

$(16, 141)$

Schritt 5