Analysis Beispiele

$y (x + 1) + x^{2} = 0$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y (x + 1) + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y (x + 1) + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y (x + 1)] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y (x + 1)]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = y$ und $g (x) = x + 1$ .

$y \frac{d}{d x} [x + 1] + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y (1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y (1 + 0) + (x + 1) \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.5

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$y (1 + 0) + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.6

Addiere $1$ und $0$ .

$y \cdot 1 + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.7

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + (x + 1) y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y + (x + 1) y' + 2 x$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + x y' + 1 y' + 2 x$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $y'$ mit $1$ .

$y + x y' + y' + 2 x$

Schritt 2.4.3

Stelle die Terme um.

$x y' + 2 x + y + y'$

Schritt 3

Da $0$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $0$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$x y' + 2 x + y + y' = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y + y' = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y' + y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $y'$ aus $x y' + y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $y'$ aus $x y'$ heraus.

$y' x + y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2.2

Potenziere $y'$ mit $1$ .

$y' x + y' = - 2 x - y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $y'$ aus ${y'}^{1}$ heraus.

$y' x + y' \cdot 1 = - 2 x - y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $y'$ aus $y' x + y' \cdot 1$ heraus.

$y' (x + 1) = - 2 x - y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = - 2 x - y$ durch $x + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y' (x + 1) = - 2 x - y$ durch $x + 1$ .

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} + \frac{- y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x}{x + 1} - \frac{y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - (y)$ heraus.

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.2.5.1

Schreibe $- (2 x + y)$ als $- 1 (2 x + y)$ um.

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 1}$

Schritt 5.3.3.2.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 1}$