Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x - \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$f' (x) = 2 - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 1.1.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 1.1.3.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f' (x) = 2 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 1.1.3.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$f' (x) = 2 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.7

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.8

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.10

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$f' (x) = 2 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.11

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Schritt 1.1.3.12

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 1.1.3.13

Addiere $2 x^{- 3}$ und $0$ .

$f' (x) = 2 + 2 x^{- 3}$

Schritt 1.1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

Schritt 1.1.4.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{3}}$

Schritt 1.1.4.3

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 2$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{2}{x^{3}} + 2$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{2}{x^{3}} + 2 = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2}{x^{3}} = - 2$

Schritt 2.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{3}, 1$

Schritt 2.3.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{3}$

Schritt 2.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 2.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2}{x^{3}} = - 2$ mit $x^{3}$ .

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{3}$ .

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Schritt 2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x^{3}} x^{3} = - 2 x^{3}$

Schritt 2.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 = - 2 x^{3}$

Schritt 2.5

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.5.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 x^{3} = 2$ um.

$- 2 x^{3} = 2$

Schritt 2.5.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.5.3.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3} - 2$ heraus.

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Schritt 2.5.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{3} - 2 = 0$

Schritt 2.5.3.1.2

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 x^{3} - 2 \cdot 1 = 0$

Schritt 2.5.3.1.3

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2 (x^{3}) - 2 (1)$ heraus.

$- 2 (x^{3} + 1) = 0$

Schritt 2.5.3.2

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$- 2 (x^{3} + 1^{3}) = 0$

Schritt 2.5.3.3

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4

Faktorisiere.

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Schritt 2.5.3.4.1

Vereinfache.

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Schritt 2.5.3.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = 0$

Schritt 2.5.3.4.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 2 ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Schritt 2.5.3.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$

Schritt 2.5.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.5.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 2.5.5.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 2.5.6

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.1

Setze $x^{2} - x + 1$ gleich $0$ .

$x^{2} - x + 1 = 0$

Schritt 2.5.6.2

Löse $x^{2} - x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.5.6.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.5.6.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 1$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.5.6.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.3.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.4.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.4.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.6.2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.6.2.5.1.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Schritt 2.5.6.2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.3

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.5.6.2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.5.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.6.2.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 2.5.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 2 (x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Setze den Nenner in $\frac{2}{x^{3}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{3} = 0$

Schritt 3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache $\sqrt[3]{0}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{3}$ um.

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$x = 0$

Schritt 4

Werte $2 x - \frac{1}{x^{2}}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = - 1$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $- 1$ .

$2 (- 1) - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1$ .

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Schritt 4.1.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 - \frac{1}{1}$

Schritt 4.1.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- 2 - 1 \cdot 1$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 2 - 1$

Schritt 4.1.2.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$- 3$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = 0$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{{(0)}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$2 (0) - \frac{1}{0}$

Schritt 4.2.2.2

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(- 1, - 3)$

Schritt 5