Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 8$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} - 16 x - 20$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

Schritt 2.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 2.3

Setze die Werte $a = 3$ , $b = - 16$ und $c = - 20$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.4.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.4.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.5.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 2.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.6.1.1

Potenziere $- 16$ mit $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ .

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Schritt 2.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 20$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.3

Addiere $256$ und $240$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4

Schreibe $496$ als $4^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 2.6.1.4.1

Faktorisiere $16$ aus $496$ heraus.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.4.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

Schritt 2.6.3

Vereinfache $\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ an.

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.4.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{512 + 192 (2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $192$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 {(2 \sqrt{31})}^{2} + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.6

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{31}$ an.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (2^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.7

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.9

Multipliziere $24 (4 \cdot 31)$ .

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Schritt 4.1.2.1.4.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $31$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.9.2

Mutltipliziere $24$ mit $124$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + {(2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.10

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{31}$ an.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 2^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.11

Potenziere $2$ mit $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.12

Schreibe ${\sqrt{31}}^{3}$ als $\sqrt{31^{3}}$ um.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.13

Potenziere $31$ mit $3$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.14

Schreibe $29791$ als $31^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.1.2.1.4.14.1

Faktorisiere $961$ aus $29791$ heraus.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.14.2

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.4.16

Mutltipliziere $31$ mit $8$ .

$\frac{512 + 384 \sqrt{31} + 2976 + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.5

Addiere $512$ und $2976$ .

$\frac{3488 + 384 \sqrt{31} + 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.6

Addiere $384 \sqrt{31}$ und $248 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.9

Schreibe ${(8 + 2 \sqrt{31})}^{2}$ als $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ um.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.10

Multipliziere $(8 + 2 \sqrt{31}) (8 + 2 \sqrt{31})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 + 2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} (8 + 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.2.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.11.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (2 \sqrt{31}) + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} \cdot 8 + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.4

Multipliziere $2 \sqrt{31} (2 \sqrt{31})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.11.1.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.4.2

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.4.3

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.1.2.1.11.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $31$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.2

Addiere $64$ und $124$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 16 \sqrt{31} + 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.11.3

Addiere $16 \sqrt{31}$ und $16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.12

Kombiniere $- 8$ und $\frac{188 + 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.1.2.1.14

Kombiniere $- 20$ und $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.1.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.1.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.1.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{8 (188 + 32 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.1.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 4.1.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{20 (8 + 2 \sqrt{31})}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.2.5

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.1.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 8 (188 + 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $188$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.3

Mutltipliziere $32$ mit $- 8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.5

Mutltipliziere $- 1504$ mit $3$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 256$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 20 (8 + 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.8

Mutltipliziere $- 20$ mit $8$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 20$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} + (- 160 - 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.11

Mutltipliziere $- 160$ mit $9$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Schritt 4.1.2.4.12

Mutltipliziere $9$ mit $- 40$ .

$\frac{3488 + 632 \sqrt{31} - 4512 - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.5.1

Subtrahiere $4512$ von $3488$ .

$\frac{- 1024 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 1440 - 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5.2

Subtrahiere $1440$ von $- 1024$ .

$\frac{- 2464 + 632 \sqrt{31} - 768 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5.3

Subtrahiere $768 \sqrt{31}$ von $632 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 136 \sqrt{31} - 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5.4

Subtrahiere $360 \sqrt{31}$ von $- 136 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5.5

Schreibe $- 2464$ als $- 1 (2464)$ um.

$\frac{- 1 (2464) - 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.1.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 496 \sqrt{31}$ heraus.

$\frac{- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 4.1.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2464) - (496 \sqrt{31})$ heraus.

$\frac{- 1 (2464 + 496 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 4.1.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

${(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{3} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ an.

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{3^{3}} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\frac{8^{3} + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.4.1

Potenziere $8$ mit $3$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 8^{2} (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

$\frac{512 + 3 \cdot 64 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $64$ .

$\frac{512 + 192 (- 2 \sqrt{31}) + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $192$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 3 \cdot 8 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 {(- 2 \sqrt{31})}^{2} + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.6

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{31}$ an.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.7

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {\sqrt{31}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.8.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.4.8.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31^{1}) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.8.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 (4 \cdot 31) + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.9

Multipliziere $24 (4 \cdot 31)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.2.1.4.9.1

Mutltipliziere $4$ mit $31$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 24 \cdot 124 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.9.2

Mutltipliziere $24$ mit $124$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2 \sqrt{31})}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.10

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{31}$ an.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.11

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 {\sqrt{31}}^{3}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.12

Schreibe ${\sqrt{31}}^{3}$ als $\sqrt{31^{3}}$ um.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{3}}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.13

Potenziere $31$ mit $3$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{29791}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.14

Schreibe $29791$ als $31^{2} \cdot 31$ um.

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Schritt 4.2.2.1.4.14.1

Faktorisiere $961$ aus $29791$ heraus.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{961 (31)}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.14.2

Schreibe $961$ als $31^{2}$ um.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 \sqrt{31^{2} \cdot 31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.15

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 8 (31 \sqrt{31})}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.4.16

Mutltipliziere $31$ mit $- 8$ .

$\frac{512 - 384 \sqrt{31} + 2976 - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $512$ und $2976$ .

$\frac{3488 - 384 \sqrt{31} - 248 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.6

Subtrahiere $248 \sqrt{31}$ von $- 384 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 {(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})}^{2} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.7

Wende die Produktregel auf $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{3^{2}} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{{(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.9

Schreibe ${(8 - 2 \sqrt{31})}^{2}$ als $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ um.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.10

Multipliziere $(8 - 2 \sqrt{31}) (8 - 2 \sqrt{31})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.2.1.10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 (8 - 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.10.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} (8 - 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{8 \cdot 8 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.1.11.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.11.1.1

Mutltipliziere $8$ mit $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 + 8 (- 2 \sqrt{31}) - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} \cdot 8 - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} - 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.4

Multipliziere $- 2 \sqrt{31} (- 2 \sqrt{31})$ .

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Schritt 4.2.2.1.11.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \sqrt{31} \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.4.2

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.4.3

Potenziere $\sqrt{31}$ mit $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 ({\sqrt{31}}^{1} {\sqrt{31}}^{1})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{1 + 1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {\sqrt{31}}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5

Schreibe ${\sqrt{31}}^{2}$ als $31$ um.

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Schritt 4.2.2.1.11.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{31}$ als $31^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.11.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31^{1}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 4 \cdot 31}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $31$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{64 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31} + 124}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.2

Addiere $64$ und $124$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 16 \sqrt{31} - 16 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.11.3

Subtrahiere $16 \sqrt{31}$ von $- 16 \sqrt{31}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - 8 \frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.12

Kombiniere $- 8$ und $\frac{188 - 32 \sqrt{31}}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} + \frac{- 8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{(8) (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - 20 \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

Schritt 4.2.2.1.14

Kombiniere $- 20$ und $\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} + \frac{- 20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.2.2.1.15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.2.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 4.2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - (\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9} \cdot \frac{3}{3}) - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.2.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{8 (188 - 32 \sqrt{31})}{9}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$

Schritt 4.2.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Schritt 4.2.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{20 (8 - 2 \sqrt{31})}{3}$ mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.2.5

Stelle die Faktoren von $9 \cdot 3$ um.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{3 \cdot 9}$

Schritt 4.2.2.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31}}{27} - \frac{8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3}{27} - \frac{20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 8 (188 - 32 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 8 \cdot 188 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $188$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 - 8 (- 32 \sqrt{31})) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.3

Mutltipliziere $- 32$ mit $- 8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} + (- 1504 + 256 \sqrt{31}) \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 1504 \cdot 3 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.5

Mutltipliziere $- 1504$ mit $3$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 256 \sqrt{31} \cdot 3 - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $256$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 20 (8 - 2 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 20 \cdot 8 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.8

Mutltipliziere $- 20$ mit $8$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 - 20 (- 2 \sqrt{31})) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.9

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 20$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} + (- 160 + 40 \sqrt{31}) \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 160 \cdot 9 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.11

Mutltipliziere $- 160$ mit $9$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 40 \sqrt{31} \cdot 9}{27}$

Schritt 4.2.2.4.12

Mutltipliziere $9$ mit $40$ .

$\frac{3488 - 632 \sqrt{31} - 4512 + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.2.2.5.1

Subtrahiere $4512$ von $3488$ .

$\frac{- 1024 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} - 1440 + 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5.2

Subtrahiere $1440$ von $- 1024$ .

$\frac{- 2464 - 632 \sqrt{31} + 768 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5.3

Addiere $- 632 \sqrt{31}$ und $768 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 136 \sqrt{31} + 360 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5.4

Addiere $136 \sqrt{31}$ und $360 \sqrt{31}$ .

$\frac{- 2464 + 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5.5

Schreibe $- 2464$ als $- 1 (2464)$ um.

$\frac{- 1 (2464) + 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.2.2.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $496 \sqrt{31}$ heraus.

$\frac{- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 4.2.2.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2464) - (- 496 \sqrt{31})$ heraus.

$\frac{- 1 (2464 - 496 \sqrt{31})}{27}$

Schritt 4.2.2.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 + 496 \sqrt{31}}{27}), (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, - \frac{2464 - 496 \sqrt{31}}{27})$

Schritt 5