Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = y - 3$ und $g (y) = y^{2} - 3 y + 9$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \frac{d}{d y} (y - 3) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Differenziere.

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Schritt 1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 3$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + \frac{d}{d y} (- 3)) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) (1 + 0) - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.2.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f' (y) = \frac{(y^{2} - 3 y + 9) \cdot 1 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.4.2

Mutltipliziere $y^{2} - 3 y + 9$ mit $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) \frac{d}{d y} (y^{2} - 3 y + 9)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} - 3 y + 9$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y + \frac{d}{d y} (- 3 y) + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.7

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y$ nach $y$ gleich $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + \frac{d}{d y} (9))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.10

Da $9$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $9$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3 + 0)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.2.11

Addiere $2 y - 3$ und $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - (y - 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 + (- y + 3) (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Multipliziere $(- y + 3) (2 y - 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y - 3) + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y - 3)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - y (2 y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} - y \cdot - 3 + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 3 (2 y) + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y + 3 \cdot - 3}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 3 y + 6 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.1.3.2

Addiere $3 y$ und $6 y$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} - 3 y + 9 - 2 y^{2} + 9 y - 9$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y + 0}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Addiere $y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y$ und $0$ .

$f' (y) = \frac{y^{2} - 3 y - 2 y^{2} + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.3

Subtrahiere $2 y^{2}$ von $y^{2}$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} - 3 y + 9 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.2.4

Addiere $- 3 y$ und $9 y$ .

$f' (y) = \frac{- y^{2} + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2} + 6 y$ heraus.

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Schritt 1.1.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$f' (y) = \frac{y (- y) + 6 y}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $6 y$ heraus.

$f' (y) = \frac{y (- y) + y \cdot 6}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (- y) + y \cdot 6$ heraus.

$f' (y) = \frac{y (- y + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$f' (y) = \frac{y (- (y) + 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.5

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$f' (y) = \frac{y (- (y) - 1 \cdot - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 6)$ heraus.

$f' (y) = \frac{y (- (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.7

Schreibe $- (y - 6)$ als $- 1 (y - 6)$ um.

$f' (y) = \frac{y (- 1 (y - 6))}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.1.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f' (y) = - \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}}$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{y (y - 6)}{{(y^{2} - 3 y + 9)}^{2}} = 0$

Schritt 2.2

Setze den Zähler gleich Null.

$y (y - 6) = 0$

Schritt 2.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $y (y - 6)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.2.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + y \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.3.1.2.2

Bringe $- 6$ auf die linke Seite von $y$ .

$y^{2} - 6 y = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{2} - 6 y$ heraus.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \cdot y - 6 y = 0$

Schritt 2.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 6 y$ heraus.

$y \cdot y + y \cdot - 6 = 0$

Schritt 2.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot y + y \cdot - 6$ heraus.

$y (y - 6) = 0$

Schritt 2.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$y = 0$

$y - 6 = 0$

Schritt 2.3.4

Setze $y$ gleich $0$ .

$y = 0$

Schritt 2.3.5

Setze $y - 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.5.1

Setze $y - 6$ gleich $0$ .

$y - 6 = 0$

Schritt 2.3.5.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 6$

Schritt 2.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $y (y - 6) = 0$ wahr machen.

$y = 0, 6$

Schritt 3

Werte $\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$ is constant with respect to $x$ .

$\frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}$

Schritt 3.2

Liste all Punkte auf.

$(0, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9}), (6, \frac{y - 3}{y^{2} - 3 y + 9})$

Schritt 4