Analysis Beispiele

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ .

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Schritt 1.1.3.1

Da $- 20$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 20 x$ nach $x$ gleich $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.3.3

Mutltipliziere $- 20$ mit $1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ und $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$

Schritt 2.2

Setze $u = x^{2}$ in die Gleichung ein. Das macht die Quadratformel leicht anzuwenden.

$5 u^{2} - 15 u - 20 = 0$

$u = x^{2}$

Schritt 2.3

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{2} - 15 u - 20$ heraus.

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{2}$ heraus.

$5 (u^{2}) - 15 u - 20 = 0$

Schritt 2.3.1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 15 u$ heraus.

$5 (u^{2}) + 5 (- 3 u) - 20 = 0$

Schritt 2.3.1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 20$ heraus.

$5 u^{2} + 5 (- 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.3.1.4

Faktorisiere $5$ aus $5 u^{2} + 5 (- 3 u)$ heraus.

$5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4 = 0$

Schritt 2.3.1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (u^{2} - 3 u) + 5 \cdot - 4$ heraus.

$5 (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Schritt 2.3.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $u^{2} - 3 u - 4$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.3.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 4$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 4, 1$

Schritt 2.3.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$5 ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Schritt 2.3.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (u - 4) (u + 1) = 0$

Schritt 2.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 2.5

Setze $u - 4$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.5.1

Setze $u - 4$ gleich $0$ .

$u - 4 = 0$

Schritt 2.5.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 4$

Schritt 2.6

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 2.6.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 2.6.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $5 (u - 4) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 4, - 1$

Schritt 2.8

Rücksubstituiere den tatsächlichen Wert von $u = x^{2}$ in die gelöste Gleichung.

$x^{2} = 4$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Schritt 2.9

Löse die erste Gleichung nach $x$ auf.

$x^{2} = 4$

Schritt 2.10

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.10.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 2.10.2

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 2.10.2.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 2.10.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 2.10.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.10.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 2.10.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 2.10.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 2.11

Löse die zweite Gleichung nach $x$ auf.

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Schritt 2.12

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 2.12.1

Entferne die Klammern.

$x^{2} = - 1$

Schritt 2.12.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Schritt 2.12.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i$

Schritt 2.12.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.12.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = i$

Schritt 2.12.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - i$

Schritt 2.12.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = i, - i$

Schritt 2.13

Die Lösung von $5 x^{4} - 15 x^{2} - 20 = 0$ ist $x = 2, - 2, i, - i$ .

$x = 2, - 2, i, - i$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{5} - 5 x^{3} - 20 x - 2$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = 2$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $2$ .

${(2)}^{5} - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Potenziere $2$ mit $5$ .

$32 - 5 {(2)}^{3} - 20 \cdot 2 - 2$

Schritt 4.1.2.1.2

Potenziere $2$ mit $3$ .

$32 - 5 \cdot 8 - 20 \cdot 2 - 2$

Schritt 4.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $8$ .

$32 - 40 - 20 \cdot 2 - 2$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $2$ .

$32 - 40 - 40 - 2$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.1.2.2.1

Subtrahiere $40$ von $32$ .

$- 8 - 40 - 2$

Schritt 4.1.2.2.2

Subtrahiere $40$ von $- 8$ .

$- 48 - 2$

Schritt 4.1.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 48$ .

$- 50$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - 2$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- 2$ .

${(- 2)}^{5} - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.2.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Potenziere $- 2$ mit $5$ .

$- 32 - 5 {(- 2)}^{3} - 20 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.2.2.1.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 32 - 5 \cdot - 8 - 20 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 8$ .

$- 32 + 40 - 20 \cdot - 2 - 2$

Schritt 4.2.2.1.4

Mutltipliziere $- 20$ mit $- 2$ .

$- 32 + 40 + 40 - 2$

Schritt 4.2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 4.2.2.2.1

Addiere $- 32$ und $40$ .

$8 + 40 - 2$

Schritt 4.2.2.2.2

Addiere $8$ und $40$ .

$48 - 2$

Schritt 4.2.2.2.3

Subtrahiere $2$ von $48$ .

$46$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(2, - 50), (- 2, 46)$

Schritt 5